投资组合的收益与方差

投资组合就是一个权重向量

投资组合由每个资产的权重描述：即其价值中投入该资产的比例。权重之和为 1，负权重是为其他资产融资的空头头寸。一个期间的收益是各资产收益的加权平均，所以预期收益是点积 w @ mu。收益是容易的那一半：它是线性的，资产之间没有相互作用。风险则不是。

import numpy as np

weights = np.array([0.6, 0.4])             # 60% in asset A, 40% in asset B
mu = np.array([0.08, 0.05])                # expected annual returns

print(weights.sum())                       # 1.0
print(weights @ mu)                        # 0.068   = 0.6 * 0.08 + 0.4 * 0.05

方差是一个二次型

对两个资产，w1 * A + w2 * B 的方差是 w1**2 * var(A) + w2**2 * var(B) + 2 * w1 * w2 * cov(A, B)：每个资产自身的方差，再加一个交叉项。n 个资产有 n * n 项 w_i * w_j * cov[i, j]，整个和就是二次型 w @ cov @ w，在 NumPy 中只要一行。关键在交叉项：当两个资产不完全相关时，它们会部分抵消，于是组合的风险小于各自风险的加权平均。

# The variance two ways: the explicit formula and the matrix form
import numpy as np

weights = np.array([0.6, 0.4])
cov = np.array([[0.04, 0.006], [0.006, 0.01]])      # variances 0.04 and 0.01 (volatilities 20% and 10%), covariance 0.006

explicit = weights[0] ** 2 * cov[0, 0] + weights[1] ** 2 * cov[1, 1] + 2 * weights[0] * weights[1] * cov[0, 1]
matrix_form = weights @ cov @ weights
print(round(explicit, 6), round(matrix_form, 6))     # 0.01888 0.01888
print(round(float(np.sqrt(matrix_form)), 4))         # 0.1374   a 13.7% volatility, below 0.6*20% + 0.4*10% = 16%

# Diversification: 50/50 in two assets of 20% volatility, for several correlations
import numpy as np

weights = np.array([0.5, 0.5])
for rho in (1.0, 0.5, 0.0, -0.5):
    cov = 0.2 * 0.2 * np.array([[1.0, rho], [rho, 1.0]])
    print(rho, round(float(np.sqrt(weights @ cov @ weights)), 4))      # 1.0: 0.2, 0.5: 0.1732, 0.0: 0.1414, -0.5: 0.1

风险从哪里来？

基金经理想知道哪些仓位在制造风险。资产 i 的风险贡献是 w_i * (cov @ w)_i / sigma_p：它的权重，乘以它与整个组合的联动强度，再除以组合波动率 sigma_p。各项贡献之和恰好等于 sigma_p，把总风险拆成几个部分。权重小但与其余资产协方差很高的资产，贡献可能远超其权重所暗示的，而对冲仓位的贡献可以是负的。

# Risk contributions of a three-asset portfolio: they add up to the volatility
import numpy as np

weights = np.array([0.5, 0.3, 0.2])
cov = np.array([[0.0400, 0.0060, 0.0100],
                [0.0060, 0.0100, 0.0020],
                [0.0100, 0.0020, 0.0225]])

variance = weights @ cov @ weights
contributions = weights * (cov @ weights) / np.sqrt(variance)
print(np.round(contributions, 4), round(float(contributions.sum()), 4))
print(round(float(np.sqrt(variance)), 4))

• 组合收益是线性的：w @ mu。方差是二次型 w @ cov @ w，含 n * n 项和交叉项，相关系数小于 1 就能降低风险。
• 波动率是 sqrt(variance * periods)；年化必须与 cov 的期间一致。
• 风险贡献 w_i * (cov @ w)_i / sigma_p 把波动率恰好按资产拆分；对冲仓位的贡献可能为负。

下一节：最小方差组合，选取使这一风险尽可能小的权重。

实验：评分内容

• 用 portfolio_return 汇总预期收益25 分
• 用 portfolio_variance 衡量风险25 分
• 用 portfolio_vol 给出波动率25 分
• 用 risk_contributions 按资产拆分风险25 分