你亲手搭建的状态检测器
在这个综合项目中，你只用 NumPy 搭建一个隐马尔可夫模型，并在二十年的 SPY 数据上运行。模型认为市场每天处于三个隐藏状态之一：平静、正常或动荡，而你永远看不到它。每个状态有自己典型的收益和波动率，明天的状态只通过转移矩阵 A 依赖于今天的状态。前向过程把收益变成每天各状态的概率；后向过程加入之后的日子所说的信息；维特比找出唯一最可能的路径；鲍姆-韦尔奇重复这些步骤，从数据中学出各状态的数。
αₜ=((αₜ₋₁A)·Bₜ)/cₜ, βₜ=(A (Bₜ₊₁·βₜ₊₁))/(cₜ₊₁), γₜ=(αₜ·βₜ)/(Σ(αₜ·βₜ)), log L=Σₜlog cₜ
一切都做了缩放。把每天的前向数除以它们的和 cₜ，可避免数千天后缩到零，而 log cₜ 的和恰好就是对数似然。维特比出于同样的原因用对数计算。在鲍姆-韦尔奇步骤中，平滑概率 γ 起权重作用：每个状态的均值和波动率就是收益的加权均值和加权离散程度，转移次数来自每天由 i 转到 j 的概率。每一轮只会提高对数似然，这正好是检验代码的好办法。在最后一个函数里，你用拟合出的状态来交易：一个信号用前一天预测危机概率（诚实），另一个从平滑概率读取（前视）。
真实数据说了什么在 2005 年以来 SPY 的 5 404 个收益上，从粗略的起点迭代四十轮，找到三个状态，年化波动率约为 8%、19% 和 51%，年化均值约为 +30%、-1% 和 -73%，每个状态都非常黏：约 96% 到 97% 的日子停留不变。对数似然从约 17 544 升到 17 803。沿着维特比路径，市场约 52% 的日子处于平静状态，41% 处于正常状态，6% 处于危机状态。只在危机概率低于一半时持仓，年化夏普比率：买入持有 0.52，诚实的滤波信号 0.66，平滑信号 1.12。最后这一差距就是前视陷阱在起作用。
- 每一步都缩放：除以当天的和并把对数相加，否则数千天会缩到零。
- 用暴力枚举检验：几天的数据可以列出所有状态路径来比较。对数似然在相邻两轮之间绝不能下降。
- 只用诚实信号：用今天的滤波概率预测明天。平滑概率会美化回测。
需要记住的简化状态内的收益被当作正态且独立，这忽略了厚尾。状态数固定为三个。模型只在整个样本上拟合一次，所以连诚实的滤波信号用的数也是从未来学来的。严格的检验只用过去数据重新拟合，并加入交易成本。一半的阈值也没有优化。
实验：评分内容
- 发射概率10 分
- 前向算法20 分
- 后向算法10 分
- 平滑5 分
- 维特比解码15 分
- 鲍姆-韦尔奇拟合25 分
- 状态研究15 分