Do preço de volta ao rendimento
No mercado um título é cotado pelo preço, mas os investidores comparam títulos pelo rendimento. O rendimento até o vencimento (YTM) é a única taxa de desconto em que o valor presente de todos os fluxos do título iguala seu preço: o retorno anualizado que você obtém se comprar agora, mantiver até o vencimento e todos os pagamentos forem feitos. Para um título de 10 anos com preço 925,61 e cupom de 5%, é 6%. Ao contrário do preço, o YTM não tem fórmula fechada, porque a incógnita está dentro de um polinômio de grau alto.
import numpy as np
def bond_price(face, coupon_rate, ytm, years, freq=2):
n = int(round(years * freq))
times = np.arange(1, n + 1) / freq
flows = np.full(n, face * coupon_rate / freq)
flows[-1] += face
return (flows / (1 + ytm / freq) ** (freq * times)).sum()
price = bond_price(1000, 0.05, 0.06, 10)
print(round(price, 4)) # 925.6126 the market price we pretend to observe
# A back-of-the-envelope yield: annual coupon plus the yearly share of the discount, over the average of price and par
coupon = 1000 * 0.05
print(round((coupon + (1000 - price) / 10) / ((1000 + price) / 2), 5)) # 0.05966 close to 6%, but not exactProcurar: bisseção
O preço cai de forma contínua à medida que o rendimento sobe, então dá para procurar. Tome um intervalo [low, high] que certamente contém a resposta (0% a 100%). Precifique o título no ponto médio: se o preço está acima do alvo, o rendimento deve ser maior, então suba low para o ponto médio; senão, desça high. Cada passo divide o intervalo ao meio; 40 passos o reduzem por um fator de um trilhão. A bisseção é lenta comparada a outros métodos, mas não pode falhar enquanto a resposta estiver no intervalo, o que a torna o recurso seguro.
low, high = 0.0, 1.0
for step in range(6):
mid = (low + high) / 2
price_mid = bond_price(1000, 0.05, mid, 10)
print(step, round(mid, 5), round(price_mid, 2))
if price_mid > price: # priced too high: the yield must be higher
low = mid
else:
high = mid
# 0 0.5 110.38
# 1 0.25 275.86
# 2 0.125 578.47
# 3 0.0625 908.08
# 4 0.03125 1159.97
# 5 0.04688 1024.72 the interval keeps shrinking around 6% (the target price is 925.61)Procurar mais rápido: Newton
O método de Newton usa a inclinação. Defina f(y) = bond_price(y) - alvo; queremos f(y) = 0. No palpite atual, siga a tangente até zero: y_new = y - f(y) / f'(y). A inclinação pode ser estimada numericamente com um passo minúsculo h: (f(y + h) - f(y - h)) / (2h). Perto da resposta o número de dígitos corretos mais ou menos dobra a cada passo, então quatro ou cinco passos bastam onde a bisseção precisa de quarenta. Newton pode falhar se começar mal ou se a inclinação for plana, então mantenha um limite de passos e volte à bisseção se não convergir.
y, h = 0.05, 1e-6 # start at the coupon rate
for step in range(5):
f = bond_price(1000, 0.05, y) - price
slope = (bond_price(1000, 0.05, y + h) - bond_price(1000, 0.05, y - h)) / (2 * h)
print(step, round(y, 8), round(f, 6))
y = y - f / slope
# 0 0.05 74.387374
# 1 0.05954347 3.245932
# 2 0.05999903 0.006916
# 3 0.06 0.0
# 4 0.06 0.0 converged to 6% after 3 steps# Check the answer by pricing the bond at the yield we found
print(round(bond_price(1000, 0.05, y, 10), 4), round(price, 4)) # 925.6126 925.6126 the same price: the yield is right- O YTM é a taxa de desconto que iguala o valor presente do título ao seu preço; não tem fórmula fechada, então é procurado.
- Bisseção: continue dividindo
[low, high]ao meio (preço acima do alvo: subalow); lenta, mas segura. - Newton:
y = y - f / slope, com inclinação numérica; converge em poucos passos mas precisa de um limite de passos e um bom início.
A seguir: a duração e a convexidade, medindo a sensibilidade do preço de um título ao rendimento.
Lab: o que é avaliado
- Estimar o rendimento de cabeça com
approx_ytm25 pts - Achar o rendimento dividindo o intervalo ao meio com
bisect_yield25 pts - Achar o rendimento mais rápido com
newton_yield25 pts - Dar nome à situação do título com
classify_price25 pts