Rendement à l'échéance

Du prix retour au rendement

Sur le marché, une obligation est cotée par son prix, mais les investisseurs comparent les obligations par le rendement. Le rendement à l'échéance (YTM) est le taux d'actualisation unique pour lequel la valeur actuelle de tous les flux de l'obligation égale son prix : le rendement annualisé que vous obtenez si vous achetez maintenant, conservez jusqu'à l'échéance et que tous les paiements sont effectués. Pour une obligation à 10 ans cotée 925,61 avec un coupon de 5 %, il vaut 6 %. Contrairement au prix, le YTM n'a pas de formule fermée, car l'inconnue se trouve dans un polynôme de degré élevé.

import numpy as np

def bond_price(face, coupon_rate, ytm, years, freq=2):
    n = int(round(years * freq))
    times = np.arange(1, n + 1) / freq
    flows = np.full(n, face * coupon_rate / freq)
    flows[-1] += face
    return (flows / (1 + ytm / freq) ** (freq * times)).sum()

price = bond_price(1000, 0.05, 0.06, 10)
print(round(price, 4))                                       # 925.6126   the market price we pretend to observe

# A back-of-the-envelope yield: annual coupon plus the yearly share of the discount, over the average of price and par
coupon = 1000 * 0.05
print(round((coupon + (1000 - price) / 10) / ((1000 + price) / 2), 5))     # 0.05966   close to 6%, but not exact

Chercher : la dichotomie

Le prix baisse régulièrement quand le rendement monte, on peut donc chercher. Prenez un intervalle [low, high] qui contient sûrement la réponse (0 % à 100 %). Calculez le prix de l'obligation au milieu : si le prix est au-dessus de la cible, le rendement doit être plus élevé, donc remontez low au milieu ; sinon abaissez high. Chaque étape divise l'intervalle par deux ; 40 étapes le réduisent d'un facteur mille milliards. La dichotomie est lente comparée à d'autres méthodes, mais elle ne peut pas échouer tant que la réponse est dans l'intervalle, ce qui en fait le repli sûr.

low, high = 0.0, 1.0
for step in range(6):
    mid = (low + high) / 2
    price_mid = bond_price(1000, 0.05, mid, 10)
    print(step, round(mid, 5), round(price_mid, 2))
    if price_mid > price:      # priced too high: the yield must be higher
        low = mid
    else:
        high = mid
# 0 0.5 110.38
# 1 0.25 275.86
# 2 0.125 578.47
# 3 0.0625 908.08
# 4 0.03125 1159.97
# 5 0.04688 1024.72      the interval keeps shrinking around 6% (the target price is 925.61)

Chercher plus vite : Newton

La méthode de Newton utilise la pente. Posez f(y) = bond_price(y) - cible ; on veut f(y) = 0. À l'estimation courante, suivez la tangente jusqu'à zéro : y_new = y - f(y) / f'(y). La pente s'estime numériquement avec un pas minuscule h : (f(y + h) - f(y - h)) / (2h). Près de la réponse, le nombre de chiffres justes double à peu près à chaque étape : quatre ou cinq étapes suffisent là où la dichotomie en demande quarante. Newton peut échouer s'il démarre mal ou si la pente est plate ; gardez donc une limite d'étapes et repliez-vous sur la dichotomie s'il ne converge pas.

y, h = 0.05, 1e-6                            # start at the coupon rate
for step in range(5):
    f = bond_price(1000, 0.05, y) - price
    slope = (bond_price(1000, 0.05, y + h) - bond_price(1000, 0.05, y - h)) / (2 * h)
    print(step, round(y, 8), round(f, 6))
    y = y - f / slope
# 0 0.05 74.387374
# 1 0.05954347 3.245932
# 2 0.05999903 0.006916
# 3 0.06 0.0
# 4 0.06 0.0        converged to 6% after 3 steps

# Check the answer by pricing the bond at the yield we found
print(round(bond_price(1000, 0.05, y, 10), 4), round(price, 4))      # 925.6126 925.6126   the same price: the yield is right

• Le YTM est le taux d'actualisation qui égale la valeur actuelle de l'obligation à son prix ; il n'a pas de formule fermée, on le cherche donc.
• Dichotomie : divisez sans cesse [low, high] par deux (prix au-dessus de la cible : montez low) ; lente mais sûre.
• Newton : y = y - f / slope, avec une pente numérique ; il converge en quelques étapes mais demande une limite d'étapes et un bon départ.

À suivre : la duration et la convexité, mesurer la sensibilité du prix d'une obligation au rendement.

Lab : ce qui est noté

• Estimer le rendement au dos d'une enveloppe avec approx_ytm25 pts
• Trouver le rendement en divisant l'intervalle en deux avec bisect_yield25 pts
• Trouver le rendement plus vite avec newton_yield25 pts
• Nommer la situation de l'obligation avec classify_price25 pts