到期收益率

由价格倒推收益率

市场上债券按价格报价，但投资者按收益率比较债券。到期收益率（YTM）是唯一一个使债券所有现金流的现值等于其价格的折现率：即现在买入、持有到期且所有款项都兑付时你获得的年化收益。对于票息 5%、价格 925.61 的 10 年期债券，它是 6%。与价格不同，YTM 没有闭式公式，因为未知数藏在一个高次多项式里。

import numpy as np

def bond_price(face, coupon_rate, ytm, years, freq=2):
    n = int(round(years * freq))
    times = np.arange(1, n + 1) / freq
    flows = np.full(n, face * coupon_rate / freq)
    flows[-1] += face
    return (flows / (1 + ytm / freq) ** (freq * times)).sum()

price = bond_price(1000, 0.05, 0.06, 10)
print(round(price, 4))                                       # 925.6126   the market price we pretend to observe

# A back-of-the-envelope yield: annual coupon plus the yearly share of the discount, over the average of price and par
coupon = 1000 * 0.05
print(round((coupon + (1000 - price) / 10) / ((1000 + price) / 2), 5))     # 0.05966   close to 6%, but not exact

搜索：二分法

收益率上升时价格稳步下降，所以可以搜索。取一个一定包含答案的区间 [low, high]（0% 到 100%）。在中点给债券定价：如果价格高于目标，收益率一定更高，就把 low 提到中点；否则把 high 降到中点。每一步都把区间减半，40 步就缩小到万亿分之一。二分法比其他方法慢，但只要答案在区间内就不会失败，因此是稳妥的后备方法。

low, high = 0.0, 1.0
for step in range(6):
    mid = (low + high) / 2
    price_mid = bond_price(1000, 0.05, mid, 10)
    print(step, round(mid, 5), round(price_mid, 2))
    if price_mid > price:      # priced too high: the yield must be higher
        low = mid
    else:
        high = mid
# 0 0.5 110.38
# 1 0.25 275.86
# 2 0.125 578.47
# 3 0.0625 908.08
# 4 0.03125 1159.97
# 5 0.04688 1024.72      the interval keeps shrinking around 6% (the target price is 925.61)

更快的搜索：牛顿法

牛顿法利用斜率。令 f(y) = bond_price(y) - 目标，我们要解 f(y) = 0。在当前猜测处沿切线下降到零：y_new = y - f(y) / f'(y)。斜率可以用一个极小的步长 h 数值估计：(f(y + h) - f(y - h)) / (2h)。接近答案时，正确的位数大约每步翻倍，所以二分法需要四十步的地方，牛顿法四五步就够。若起点不好或斜率平缓，牛顿法可能失败，所以要设置步数上限，不收敛时退回二分法。

y, h = 0.05, 1e-6                            # start at the coupon rate
for step in range(5):
    f = bond_price(1000, 0.05, y) - price
    slope = (bond_price(1000, 0.05, y + h) - bond_price(1000, 0.05, y - h)) / (2 * h)
    print(step, round(y, 8), round(f, 6))
    y = y - f / slope
# 0 0.05 74.387374
# 1 0.05954347 3.245932
# 2 0.05999903 0.006916
# 3 0.06 0.0
# 4 0.06 0.0        converged to 6% after 3 steps

# Check the answer by pricing the bond at the yield we found
print(round(bond_price(1000, 0.05, y, 10), 4), round(price, 4))      # 925.6126 925.6126   the same price: the yield is right

• YTM 是使债券现值等于价格的折现率；它没有闭式公式，只能搜索求解。
• 二分法：不断把 [low, high] 减半（价格高于目标则抬高 low）；慢但稳妥。
• 牛顿法：用数值斜率做 y = y - f / slope；几步即可收敛，但需要步数上限和合适的起点。

下一节：久期与凸性，衡量债券价格对收益率的敏感程度。

实验：评分内容

• 用 approx_ytm 粗略估算收益率25 分
• 用 bisect_yield 通过二分法求收益率25 分
• 用 newton_yield 更快地求收益率25 分
• 用 classify_price 为债券的状态命名25 分