Qual é o comprimento real de um título?
O vencimento diz quando chega o último pagamento, mas um título que paga cupons grandes devolve grande parte do seu dinheiro antes. A duração de Macaulay é o tempo médio para receber os fluxos, ponderando cada data de pagamento pela sua parcela do preço: sum(t * PV(t)) / preço. Um título de cupom zero tem duração igual ao vencimento; os cupons a reduzem. Nosso título de 10 anos a 5% com rendimento de 6% tem duração de 7,9 anos. A duração é o comprimento real do título no tempo.
import numpy as np
def bond_cashflows(face, coupon_rate, years, freq):
n = int(round(years * freq))
times = np.arange(1, n + 1) / freq
flows = np.full(n, face * coupon_rate / freq)
flows[-1] += face
return times, flows
times, flows = bond_cashflows(1000, 0.05, 10, 2)
pv = flows / (1 + 0.06 / 2) ** (2 * times) # present value of each payment
price = pv.sum()
macaulay = (times * pv).sum() / price # the average time, weighted by present value
print(round(price, 4), round(macaulay, 4)) # 925.6126 7.895 shorter than the 10-year maturityDa duração ao risco de preço
Dividir por 1 + ytm / freq dá a duração modificada, que tem um significado direto: é a queda percentual do preço para uma alta de uma unidade (100 pontos) no rendimento; uma duração modificada de 7,67 significa cerca de -7,67% para +1 ponto percentual, em primeira aproximação: dP / P ≈ -D_mod * dy. É o número que as mesas de risco citam como a sensibilidade do título à taxa de juros. Ele também explica por que o título longo do tópico anterior caiu muito mais que o curto: sua duração é maior.
modified = macaulay / (1 + 0.06 / 2)
print(round(modified, 4)) # 7.6654 about -7.67% of price for +1 percentage point of yield
dy = 0.01
print(round(price * (1 - modified * dy), 2)) # 854.66 the first-order estimate after a rise to 7%
# the exact price at 7% is 857.88: duration alone underestimates itConvexidade: a curvatura
A relação preço-rendimento é uma curva, não uma reta, e a duração é apenas sua tangente. A tangente subestima o preço para movimentos nos dois sentidos, porque a curva se dobra para cima: um título ganha mais quando os rendimentos caem do que perde quando sobem o mesmo valor. A convexidade mede essa curvatura, a partir da segunda derivada: sum(fluxo * t * (t + 1/freq) / (1 + y/freq) ** (freq * t + 2)) / preço. Somar o termo 0.5 * convexidade * dy² à estimativa pela duração dá uma previsão de preço muito melhor, e importa mais quanto maior o movimento.
convexity = (flows * times * (times + 1 / 2) / (1 + 0.06 / 2) ** (2 * times + 2)).sum() / price
print(round(convexity, 3)) # 71.785
for dy in (0.01, -0.01, 0.03):
exact = bond_price(1000, 0.05, 0.06 + dy, 10)
duration_only = price * (1 - modified * dy)
with_convexity = price * (1 - modified * dy + 0.5 * convexity * dy ** 2)
print(dy, round(exact, 2), round(duration_only, 2), round(with_convexity, 2))
# 0.01 857.88 854.66 857.99
# -0.01 1000.0 996.56 999.88
# 0.03 739.84 712.77 742.67 for a big move convexity matters most# Duration by maturity for a 5% bond at a 6% yield: it grows with maturity, but slower than one for one
for years in (1, 5, 10, 30):
t_, f_ = bond_cashflows(1000, 0.05, years, 2)
p_ = f_ / (1 + 0.06 / 2) ** (2 * t_)
print(years, round((t_ * p_).sum() / p_.sum(), 3))
# 1 0.988
# 5 4.472
# 10 7.895
# 30 14.77bond_price faz.- Duração de Macaulay =
sum(t * PV) / preço, o tempo médio até o dinheiro; a de um cupom zero é seu vencimento. - Duração modificada = Macaulay /
(1 + ytm / freq): a queda relativa do preço para +1 de rendimento,dP / P ≈ -D_mod * dy. - Estimativa do preço =
preço * (1 - D_mod * dy + 0.5 * convexidade * dy²); o termo de convexidade corrige a tangente, sobretudo em grandes movimentos.
A seguir: as curvas de juros e a interpolação, porque prazos diferentes têm taxas diferentes.
Lab: o que é avaliado
- Achar o tempo médio até receber seu dinheiro com
macaulay_duration25 pts - Transformá-la em sensibilidade do preço com
modified_duration25 pts - Capturar a curvatura com
convexity25 pts - Prever o novo preço sem reprecificar com
price_estimate25 pts