Curvas de juros e interpolação

Uma taxa por prazo

Até aqui um único rendimento descontava todos os pagamentos de um título. Na realidade o dinheiro emprestado por 6 meses, 2 anos e 10 anos rende taxas diferentes, e o padrão pelos prazos é a curva de juros. Uma taxa zero é a taxa anual de um único pagamento em uma data dada, sem cupons intermediários. Em geral a curva sobe com o prazo (os investidores querem mais para esperar mais), mas pode ser plana ou invertida, quando as taxas curtas superam as longas, o que os mercados leem como um alerta sobre o crescimento.

import numpy as np

maturities = np.array([0.5, 1, 2, 5, 10, 30])                      # years where the market quotes a rate
rates = np.array([0.040, 0.042, 0.045, 0.048, 0.050, 0.052])       # an upward-sloping curve

# The rate at 3 years is not quoted: interpolate linearly between 2 years (4.5%) and 5 years (4.8%)
print(float(np.interp(3, maturities, rates)))                        # 0.046
print(np.interp([0.25, 7, 40], maturities, rates).tolist())          # [0.04, 0.0488, 0.052]   flat outside the quoted range

Fatores de desconto e taxa a termo

Uma taxa zero r para o prazo t dá o fator de desconto (1 + r) ** -t: quanto vale hoje uma unidade paga em t. A curva também esconde expectativas. Emprestar por 2 anos a 4,5% deve igualar emprestar por 1 ano a 4,2% e depois emprestar de novo por um ano a uma taxa combinada f: (1 + 4,5%)² = (1 + 4,2%)(1 + f), logo f = 4,80%. Essa taxa a termo é a taxa de equilíbrio do segundo ano, fixada hoje. Em geral f = ((1 + r2) ** t2 / (1 + r1) ** t1) ** (1 / (t2 - t1)) - 1.

def discount_factor(rate, t):
    return (1 + rate) ** -t

print(round(float(discount_factor(0.045, 2)), 5))                  # 0.91573   one unit paid in 2 years

r1, t1, r2, t2 = 0.042, 1, 0.045, 2
forward = ((1 + r2) ** t2 / (1 + r1) ** t1) ** (1 / (t2 - t1)) - 1
print(round(forward, 5))                                            # 0.04801   the rate for year 2, implied by the curve
print(round((1 + r1) ** t1 * (1 + forward) ** (t2 - t1), 5), round((1 + r2) ** t2, 5))   # 1.09 1.09   both routes agree

Precificar na curva inteira

Precificar com um único rendimento trata igualmente um pagamento de 1 ano e um de 10 anos. A abordagem pela curva é mais fiel: para cada pagamento leia a taxa zero da sua própria data (interpolando se preciso), transforme-a em fator de desconto e some fluxo * fator. Dois títulos com os mesmos fluxos devem ter o mesmo preço quaisquer que sejam seus rendimentos cotados, e é assim que os bancos marcam títulos a mercado. Para um título de 3 anos a 5% em nossa curva o preço é 1011,25, contra 1010,98 com 4,6% plano: próximo aqui porque a curva é suave, mas títulos diferentes reagem de formas diferentes quando a curva se torce.

times = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
flows = np.array([50.0, 50.0, 1050.0])                              # a 3-year 5% bond with annual coupons

zero = np.interp(times, maturities, rates)
print(zero.tolist())                                                 # [0.042, 0.045, 0.046]
print((discount_factor(zero, times)).round(5).tolist())              # [0.95969, 0.91573, 0.87379]
print(round(float((flows * discount_factor(zero, times)).sum()), 4))   # 1011.2462   on the curve
print(round(float((flows / 1.046 ** times).sum()), 4))               # 1010.9752   with one flat 4.6% instead

# The forward rates between the quoted maturities, in one array expression
t = np.array([1.0, 2.0, 5.0])
r = np.array([0.042, 0.045, 0.048])
forwards = ((1 + r[1:]) ** t[1:] / (1 + r[:-1]) ** t[:-1]) ** (1 / np.diff(t)) - 1
print(forwards.round(5).tolist())       # [0.04801, 0.05]   year 2 and years 3 to 5: an upward-sloping curve implies rising forwards

• Uma curva de juros é a taxa zero por prazo; leia prazos ausentes por interpolação (np.interp, plana fora do intervalo).
• Fator de desconto (1 + r) ** -t; taxa a termo ((1 + r2) ** t2 / (1 + r1) ** t1) ** (1 / (t2 - t1)) - 1.
• Preço = soma de fluxo * fator de desconto, cada fluxo à taxa zero da sua data; declare o método de interpolação.

A seguir: os pagamentos das opções, o que uma call ou uma put paga no vencimento, ponto de partida da precificação de opções.

Lab: o que é avaliado

• Ler uma taxa entre os prazos cotados com interpolate_rate25 pts
• Transformar uma taxa em fator de desconto com discount_factor25 pts
• Ler a taxa futura escondida na curva com forward_rate25 pts
• Precificar um fluxo de pagamentos em toda a curva com price_on_curve25 pts