收益率曲线与插值

每个期限一个利率

到目前为止，一个收益率就折现了债券的所有付款。实际上，借出 6 个月、2 年和 10 年的资金，利率各不相同，随期限变化的形态就是收益率曲线。零息利率是在某个日期的单笔付款对应的年利率，中间没有票息。曲线通常随期限上升（等得越久，投资者要求越多），但也可能走平或倒挂（短期利率高于长期利率），市场把倒挂解读为对增长的警告。

import numpy as np

maturities = np.array([0.5, 1, 2, 5, 10, 30])                      # years where the market quotes a rate
rates = np.array([0.040, 0.042, 0.045, 0.048, 0.050, 0.052])       # an upward-sloping curve

# The rate at 3 years is not quoted: interpolate linearly between 2 years (4.5%) and 5 years (4.8%)
print(float(np.interp(3, maturities, rates)))                        # 0.046
print(np.interp([0.25, 7, 40], maturities, rates).tolist())          # [0.04, 0.0488, 0.052]   flat outside the quoted range

折现因子与远期利率

期限 t 的零息利率 r 给出折现因子 (1 + r) ** -t：在 t 时支付的一个单位今天值多少。曲线中还藏着预期。借出 2 年、利率 4.5%，应当等于先借 1 年、利率 4.2%，再按约定利率 f 续借一年：(1 + 4.5%)² = (1 + 4.2%)(1 + f)，所以 f = 4.80%。这个远期利率就是第二年的盈亏平衡利率，今天就锁定。一般地，f = ((1 + r2) ** t2 / (1 + r1) ** t1) ** (1 / (t2 - t1)) - 1。

def discount_factor(rate, t):
    return (1 + rate) ** -t

print(round(float(discount_factor(0.045, 2)), 5))                  # 0.91573   one unit paid in 2 years

r1, t1, r2, t2 = 0.042, 1, 0.045, 2
forward = ((1 + r2) ** t2 / (1 + r1) ** t1) ** (1 / (t2 - t1)) - 1
print(round(forward, 5))                                            # 0.04801   the rate for year 2, implied by the curve
print(round((1 + r1) ** t1 * (1 + forward) ** (t2 - t1), 5), round((1 + r2) ** t2, 5))   # 1.09 1.09   both routes agree

在整条曲线上定价

用单一收益率定价，是把 1 年后的付款和 10 年后的付款一视同仁。曲线法更忠实：对每笔付款读取其自身日期的零息利率（必要时插值），转成折现因子，再对 现金流 * 因子 求和。现金流相同的两只债券，不论报价收益率如何，价格必须相同，银行就是这样对债券按市价估值的。在我们的曲线上，3 年期 5% 债券价格是 1011.25，而按平坦的 4.6% 是 1010.98：曲线平缓时二者相近，但当曲线扭曲时，不同债券的反应各不相同。

times = np.array([1.0, 2.0, 3.0])
flows = np.array([50.0, 50.0, 1050.0])                              # a 3-year 5% bond with annual coupons

zero = np.interp(times, maturities, rates)
print(zero.tolist())                                                 # [0.042, 0.045, 0.046]
print((discount_factor(zero, times)).round(5).tolist())              # [0.95969, 0.91573, 0.87379]
print(round(float((flows * discount_factor(zero, times)).sum()), 4))   # 1011.2462   on the curve
print(round(float((flows / 1.046 ** times).sum()), 4))               # 1010.9752   with one flat 4.6% instead

# The forward rates between the quoted maturities, in one array expression
t = np.array([1.0, 2.0, 5.0])
r = np.array([0.042, 0.045, 0.048])
forwards = ((1 + r[1:]) ** t[1:] / (1 + r[:-1]) ** t[:-1]) ** (1 / np.diff(t)) - 1
print(forwards.round(5).tolist())       # [0.04801, 0.05]   year 2 and years 3 to 5: an upward-sloping curve implies rising forwards

• 收益率曲线是各期限的零息利率；缺失的期限用插值读取（np.interp，范围外保持不变）。
• 折现因子 (1 + r) ** -t；远期利率 ((1 + r2) ** t2 / (1 + r1) ** t1) ** (1 / (t2 - t1)) - 1。
• 价格 = 各现金流按其自身日期的零息利率折现后的 现金流 * 折现因子 之和；说明插值方法。

下一节：期权收益，看涨或看跌期权到期时的支付，这是期权定价的起点。

实验：评分内容

• 用 interpolate_rate 读取报价期限之间的利率25 分
• 用 discount_factor 把利率转换为折现因子25 分
• 用 forward_rate 读出曲线中隐含的远期利率25 分
• 用 price_on_curve 在整条曲线上为现金流定价25 分