Duration und Konvexität

Wie lang ist eine Anleihe wirklich?

Die Laufzeit sagt, wann die letzte Zahlung eintrifft, doch eine Anleihe mit hohen Kupons gibt einen Großteil Ihres Geldes früher zurück. Die Macaulay-Duration ist die durchschnittliche Zeit bis zum Erhalt der Zahlungen, jeder Zahlungszeitpunkt gewichtet mit seinem Anteil am Preis: sum(t * PV(t)) / Preis. Eine Nullkuponanleihe hat eine Duration gleich ihrer Laufzeit; Kupons senken sie. Unsere 10-jährige 5-%-Anleihe bei 6 % Rendite hat eine Duration von 7,9 Jahren. Die Duration ist die wirkliche zeitliche Länge der Anleihe.

import numpy as np

def bond_cashflows(face, coupon_rate, years, freq):
    n = int(round(years * freq))
    times = np.arange(1, n + 1) / freq
    flows = np.full(n, face * coupon_rate / freq)
    flows[-1] += face
    return times, flows

times, flows = bond_cashflows(1000, 0.05, 10, 2)
pv = flows / (1 + 0.06 / 2) ** (2 * times)           # present value of each payment
price = pv.sum()
macaulay = (times * pv).sum() / price                # the average time, weighted by present value
print(round(price, 4), round(macaulay, 4))           # 925.6126 7.895   shorter than the 10-year maturity

Von der Duration zum Preisrisiko

Die Division durch 1 + ytm / freq ergibt die modifizierte Duration, die eine direkte Bedeutung hat: Sie ist der prozentuale Preisrückgang bei einem Renditeanstieg um eine Einheit (100 Punkte), eine modifizierte Duration von 7,67 heißt also näherungsweise etwa -7,67 % bei +1 Prozentpunkt: dP / P ≈ -D_mod * dy. Diese Zahl nennen Risikoabteilungen als Zinssensitivität der Anleihe. Sie erklärt auch, warum die lange Anleihe des vorigen Themas so viel stärker fiel als die kurze: Ihre Duration ist höher.

modified = macaulay / (1 + 0.06 / 2)
print(round(modified, 4))                       # 7.6654   about -7.67% of price for +1 percentage point of yield

dy = 0.01
print(round(price * (1 - modified * dy), 2))    # 854.66   the first-order estimate after a rise to 7%
# the exact price at 7% is 857.88: duration alone underestimates it

Konvexität: die Krümmung

Die Preis-Rendite-Beziehung ist eine Kurve, keine Gerade, und die Duration nur ihre Tangente. Die Tangente unterschätzt den Preis bei Bewegungen in beide Richtungen, weil die Kurve nach oben gekrümmt ist: Eine Anleihe gewinnt bei fallenden Renditen mehr, als sie bei einem gleich großen Anstieg verliert. Die Konvexität misst diese Krümmung aus der zweiten Ableitung: sum(Zahlung * t * (t + 1/freq) / (1 + y/freq) ** (freq * t + 2)) / Preis. Der Term 0.5 * Konvexität * dy² zur Duration-Schätzung ergibt eine viel bessere Preisprognose, und er zählt umso mehr, je größer die Bewegung ist.

convexity = (flows * times * (times + 1 / 2) / (1 + 0.06 / 2) ** (2 * times + 2)).sum() / price
print(round(convexity, 3))                                   # 71.785

for dy in (0.01, -0.01, 0.03):
    exact = bond_price(1000, 0.05, 0.06 + dy, 10)
    duration_only = price * (1 - modified * dy)
    with_convexity = price * (1 - modified * dy + 0.5 * convexity * dy ** 2)
    print(dy, round(exact, 2), round(duration_only, 2), round(with_convexity, 2))
# 0.01 857.88 854.66 857.99
# -0.01 1000.0 996.56 999.88
# 0.03 739.84 712.77 742.67      for a big move convexity matters most

# Duration by maturity for a 5% bond at a 6% yield: it grows with maturity, but slower than one for one
for years in (1, 5, 10, 30):
    t_, f_ = bond_cashflows(1000, 0.05, years, 2)
    p_ = f_ / (1 + 0.06 / 2) ** (2 * t_)
    print(years, round((t_ * p_).sum() / p_.sum(), 3))
# 1 0.988
# 5 4.472
# 10 7.895
# 30 14.77

• Macaulay-Duration = sum(t * PV) / Preis, die durchschnittliche Zeit bis zum Geld; bei einer Nullkuponanleihe ist sie die Laufzeit.
• Modifizierte Duration = Macaulay / (1 + ytm / freq): der relative Preisrückgang bei +1 Rendite, dP / P ≈ -D_mod * dy.
• Preisschätzung = Preis * (1 - D_mod * dy + 0.5 * Konvexität * dy²); der Konvexitätsterm korrigiert die Tangente, vor allem bei großen Bewegungen.

Als Nächstes: Zinskurven und Interpolation, denn unterschiedliche Laufzeiten haben unterschiedliche Zinsen.

Lab: Was bewertet wird

• Mit macaulay_duration die durchschnittliche Zeit bis zum Geld finden25 Pkt.
• Mit modified_duration daraus eine Preissensitivität machen25 Pkt.
• Mit convexity die Krümmung erfassen25 Pkt.
• Mit price_estimate den neuen Preis ohne Neubewertung vorhersagen25 Pkt.