O lema de Itô

Uma regra da cadeia com pegadinha

Se S fosse uma função suave do tempo, a variação de f(S) seria f'(S) * dS, a regra da cadeia comum. Mas dS contém dW, e (dW)^2 = dt não é desprezível: é da mesma ordem que dt. Ao expandir f(S + dS) até a segunda ordem, o termo 0.5 * f''(S) * (dS)^2 sobrevive, e (dS)^2 = sigma^2 * S^2 * dt. Esse termo extra é o lema de Itô, a principal ferramenta para deduzir preços de opções.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

# f(S) = S: the drift is just mu * S (no curvature, no extra term)
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 1.0, 0.0))             # 8.0
# f(S) = S squared: f_S = 2 S and f_SS = 2, so the curvature term appears
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 2 * 100.0, 2.0))        # 1600 + 400 = 2000.0

# The drift for several functions of the price, S = 100, mu = 8%, sigma = 20%
def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

s, mu, sigma = 100.0, 0.08, 0.2
print("S      ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0, 0.0))                  # 8.0
print("S^2    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 2 * s, 2.0))                # 2000.0
print("S^3    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 3 * s ** 2, 6 * s))         # 240000 + 120000 = 360000.0
print("sqrt(S)", round(ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 0.5 / s ** 0.5, -0.25 / s ** 1.5), 4))    # 0.35 : curvature pulls it down

O log do preço e o sigma ao quadrado sobre dois

Aplique o lema a f = ln S. Aqui f_t = 0, f_S = 1/S e f_SS = -1/S^2, então a deriva é mu - 0.5 * sigma^2 e a difusão sigma: d ln S = (mu - sigma^2/2) dt + sigma dW. O log do preço é um movimento browniano aritmético, e é exatamente por isso que a solução do MBG tem mu - sigma^2/2 no expoente. A convexidade de exp e a concavidade de ln são dois lados do mesmo fato.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

def log_drift(mu, sigma):
    s = 1.0                                        # the answer does not depend on s
    return ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0 / s, -1.0 / s ** 2)

print(log_drift(0.08, 0.20))                       # 0.06   = 0.08 - 0.5 * 0.2**2
print(round(log_drift(0.08, 0.60), 4))             # -0.1   a high volatility makes the typical growth negative

Verificar o lema por simulação

Não é preciso aceitar o lema na confiança. Tome muitos movimentos aleatórios de um passo s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * sqrt(dt) * z, calcule f(s_new) - f(s) para uma função f, tire a média e divida por dt. O resultado converge para a deriva do lema. Com f = S^2 e o termo de curvatura omitido, a simulação discorda visivelmente, a melhor forma de ver que o termo extra é real.

import numpy as np

def mean_change_estimate(f, s, mu, sigma, dt, z):
    s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * np.sqrt(dt) * z
    return float(np.mean(f(s_new) - f(s)) / dt)

half = np.random.default_rng(1).standard_normal(200_000)
z = np.concatenate([half, -half])                 # pairs of opposite draws: the noise at first order cancels
estimate = mean_change_estimate(lambda x: x ** 2, 100.0, 0.08, 0.2, 0.001, z)
print(round(estimate))                                       # about 2000
print(round(0.08 * 100.0 * 2 * 100.0))                       # 1600  the ordinary chain rule alone: the curvature term (400) is missing

• Lema de Itô: a deriva de f(S, t) é f_t + mu * S * f_S + 0.5 * sigma^2 * S^2 * f_SS e o coeficiente do ruído sigma * S * f_S.
• O termo de curvatura existe porque (dW)^2 = dt; para ln S dá a deriva mu - sigma^2 / 2 da solução do MBG.
• Verifique por simulação: a média de f(s_new) - f(s) sobre dt coincide com o lema; aplicado ao valor de uma opção dá Black–Scholes.

A seguir: as opções asiáticas, cujo pagamento depende do preço médio durante a vida da opção.

Lab: o que é avaliado

• Achar a deriva de uma função com ito_drift25 pts
• Achar o coeficiente do ruído com ito_diffusion25 pts
• Aplicá-lo ao log do preço com log_drift25 pts
• Verificá-lo por simulação com mean_change_estimate25 pts