مبرهنة إيتو

قاعدة سلسلة فيها مأزق

لو كانت S دالة ملساء في الزمن لكان تغير f(S) هو f'(S) * dS أي قاعدة السلسلة العادية. لكن dS يحتوي dW، و(dW)^2 = dt لا يُهمل: فهو من رتبة dt نفسها. وبتفكيك f(S + dS) إلى الرتبة الثانية يبقى الحد 0.5 * f''(S) * (dS)^2 ويساوي (dS)^2 = sigma^2 * S^2 * dt. هذا الحد الإضافي هو مبرهنة إيتو، الأداة الرئيسة لاشتقاق أسعار الخيارات.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

# f(S) = S: the drift is just mu * S (no curvature, no extra term)
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 1.0, 0.0))             # 8.0
# f(S) = S squared: f_S = 2 S and f_SS = 2, so the curvature term appears
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 2 * 100.0, 2.0))        # 1600 + 400 = 2000.0

# The drift for several functions of the price, S = 100, mu = 8%, sigma = 20%
def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

s, mu, sigma = 100.0, 0.08, 0.2
print("S      ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0, 0.0))                  # 8.0
print("S^2    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 2 * s, 2.0))                # 2000.0
print("S^3    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 3 * s ** 2, 6 * s))         # 240000 + 120000 = 360000.0
print("sqrt(S)", round(ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 0.5 / s ** 0.5, -0.25 / s ** 1.5), 4))    # 0.35 : curvature pulls it down

لوغاريتم السعر وسيغما تربيع على اثنين

لنطبق المبرهنة على f = ln S. هنا f_t = 0 وf_S = 1/S وf_SS = -1/S^2 فالانجراف mu - 0.5 * sigma^2 والانتشار sigma: d ln S = (mu - sigma^2/2) dt + sigma dW. فلوغاريتم السعر حركة براونية حسابية، ولهذا بالضبط يحمل حل الحركة الهندسية mu - sigma^2/2 في الأس. وتحدب exp وتقعر ln وجهان لحقيقة واحدة.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

def log_drift(mu, sigma):
    s = 1.0                                        # the answer does not depend on s
    return ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0 / s, -1.0 / s ** 2)

print(log_drift(0.08, 0.20))                       # 0.06   = 0.08 - 0.5 * 0.2**2
print(round(log_drift(0.08, 0.60), 4))             # -0.1   a high volatility makes the typical growth negative

التحقق من المبرهنة بالمحاكاة

لا حاجة لتصديق المبرهنة على الثقة. خذ حركات عشوائية كثيرة بخطوة واحدة s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * sqrt(dt) * z واحسب f(s_new) - f(s) لدالة f وخذ المتوسط واقسم على dt. تتقارب النتيجة إلى الانجراف الذي تعطيه المبرهنة. ومع f = S^2 وإهمال حد التقعر تختلف المحاكاة بوضوح، وهذا أفضل ما يبين أن الحد الإضافي حقيقي.

import numpy as np

def mean_change_estimate(f, s, mu, sigma, dt, z):
    s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * np.sqrt(dt) * z
    return float(np.mean(f(s_new) - f(s)) / dt)

half = np.random.default_rng(1).standard_normal(200_000)
z = np.concatenate([half, -half])                 # pairs of opposite draws: the noise at first order cancels
estimate = mean_change_estimate(lambda x: x ** 2, 100.0, 0.08, 0.2, 0.001, z)
print(round(estimate))                                       # about 2000
print(round(0.08 * 100.0 * 2 * 100.0))                       # 1600  the ordinary chain rule alone: the curvature term (400) is missing

• مبرهنة إيتو: انجراف f(S, t) هو f_t + mu * S * f_S + 0.5 * sigma^2 * S^2 * f_SS ومعامل الضجيج sigma * S * f_S.
• حد التقعر موجود لأن (dW)^2 = dt؛ وفي ln S يعطي الانجراف mu - sigma^2 / 2 لحل الحركة الهندسية.
• تحقق بالمحاكاة: متوسط f(s_new) - f(s) على dt يطابق المبرهنة؛ وعند تطبيقها على قيمة خيار تعطي بلاك-شولز.

التالي: الخيارات الآسيوية، التي يعتمد مدفوعها على متوسط السعر طوال عمر الخيار.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• اعثر على انجراف دالة باستخدام ito_drift25 نقطة
• اعثر على معامل الضجيج باستخدام ito_diffusion25 نقطة
• طبّقه على لوغاريتم السعر باستخدام log_drift25 نقطة
• تحقق بالمحاكاة باستخدام mean_change_estimate25 نقطة