Le lemme d'Itô

Une règle de dérivation avec un piège

Si S était une fonction lisse du temps, la variation de f(S) serait f'(S) * dS, la règle de dérivation usuelle. Mais dS contient dW, et (dW)^2 = dt n'est pas négligeable : il est du même ordre que dt. En développant f(S + dS) à l'ordre deux, le terme 0.5 * f''(S) * (dS)^2 subsiste, et (dS)^2 = sigma^2 * S^2 * dt. Ce terme supplémentaire est le lemme d'Itô, l'outil principal pour établir les prix d'options.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

# f(S) = S: the drift is just mu * S (no curvature, no extra term)
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 1.0, 0.0))             # 8.0
# f(S) = S squared: f_S = 2 S and f_SS = 2, so the curvature term appears
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 2 * 100.0, 2.0))        # 1600 + 400 = 2000.0

# The drift for several functions of the price, S = 100, mu = 8%, sigma = 20%
def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

s, mu, sigma = 100.0, 0.08, 0.2
print("S      ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0, 0.0))                  # 8.0
print("S^2    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 2 * s, 2.0))                # 2000.0
print("S^3    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 3 * s ** 2, 6 * s))         # 240000 + 120000 = 360000.0
print("sqrt(S)", round(ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 0.5 / s ** 0.5, -0.25 / s ** 1.5), 4))    # 0.35 : curvature pulls it down

Le log du prix et le sigma carré sur deux

Appliquons le lemme à f = ln S. Ici f_t = 0, f_S = 1/S et f_SS = -1/S^2, donc la dérive est mu - 0.5 * sigma^2 et la diffusion sigma : d ln S = (mu - sigma^2/2) dt + sigma dW. Le log du prix est un mouvement brownien arithmétique, ce qui explique exactement que la solution du MBG contienne mu - sigma^2/2 dans l'exponentielle. La convexité de exp et la concavité de ln sont deux faces d'un même fait.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

def log_drift(mu, sigma):
    s = 1.0                                        # the answer does not depend on s
    return ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0 / s, -1.0 / s ** 2)

print(log_drift(0.08, 0.20))                       # 0.06   = 0.08 - 0.5 * 0.2**2
print(round(log_drift(0.08, 0.60), 4))             # -0.1   a high volatility makes the typical growth negative

Vérifier le lemme par simulation

Il n'est pas nécessaire de croire le lemme sur parole. Prenez de nombreux mouvements aléatoires d'un pas s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * sqrt(dt) * z, calculez f(s_new) - f(s) pour une fonction f, moyennez et divisez par dt. Le résultat converge vers la dérive donnée par le lemme. Avec f = S^2 et le terme de courbure omis, la simulation est visiblement en désaccord, ce qui montre le mieux que le terme supplémentaire est réel.

import numpy as np

def mean_change_estimate(f, s, mu, sigma, dt, z):
    s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * np.sqrt(dt) * z
    return float(np.mean(f(s_new) - f(s)) / dt)

half = np.random.default_rng(1).standard_normal(200_000)
z = np.concatenate([half, -half])                 # pairs of opposite draws: the noise at first order cancels
estimate = mean_change_estimate(lambda x: x ** 2, 100.0, 0.08, 0.2, 0.001, z)
print(round(estimate))                                       # about 2000
print(round(0.08 * 100.0 * 2 * 100.0))                       # 1600  the ordinary chain rule alone: the curvature term (400) is missing

• Lemme d'Itô : la dérive de f(S, t) vaut f_t + mu * S * f_S + 0.5 * sigma^2 * S^2 * f_SS et le coefficient du bruit sigma * S * f_S.
• Le terme de courbure existe parce que (dW)^2 = dt ; pour ln S, il donne la dérive mu - sigma^2 / 2 de la solution du MBG.
• Vérifiez par simulation : la moyenne de f(s_new) - f(s) sur dt correspond au lemme ; appliqué à la valeur d'une option, il donne Black–Scholes.

À suivre : les options asiatiques, dont le gain dépend du prix moyen sur la durée de vie de l'option.

Lab : ce qui est noté

• Trouver la dérive d'une fonction avec ito_drift25 pts
• Trouver le coefficient du bruit avec ito_diffusion25 pts
• L'appliquer au log du prix avec log_drift25 pts
• Le vérifier par simulation avec mean_change_estimate25 pts