El lema de Itô

Una regla de la cadena con trampa

Si S fuera una función suave del tiempo, el cambio de f(S) sería f'(S) * dS, la regla de la cadena ordinaria. Pero dS contiene dW, y (dW)^2 = dt no es despreciable: es del mismo orden que dt. Al desarrollar f(S + dS) a segundo orden sobrevive el término 0.5 * f''(S) * (dS)^2, y (dS)^2 = sigma^2 * S^2 * dt. Ese término extra es el lema de Itô, la herramienta principal para deducir precios de opciones.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

# f(S) = S: the drift is just mu * S (no curvature, no extra term)
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 1.0, 0.0))             # 8.0
# f(S) = S squared: f_S = 2 S and f_SS = 2, so the curvature term appears
print(ito_drift(100.0, 0.08, 0.2, 0.0, 2 * 100.0, 2.0))        # 1600 + 400 = 2000.0

# The drift for several functions of the price, S = 100, mu = 8%, sigma = 20%
def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

s, mu, sigma = 100.0, 0.08, 0.2
print("S      ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0, 0.0))                  # 8.0
print("S^2    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 2 * s, 2.0))                # 2000.0
print("S^3    ", ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 3 * s ** 2, 6 * s))         # 240000 + 120000 = 360000.0
print("sqrt(S)", round(ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 0.5 / s ** 0.5, -0.25 / s ** 1.5), 4))    # 0.35 : curvature pulls it down

El logaritmo del precio y sigma al cuadrado entre dos

Apliquemos el lema a f = ln S. Aquí f_t = 0, f_S = 1/S y f_SS = -1/S^2, así que la deriva es mu - 0.5 * sigma^2 y la difusión sigma: d ln S = (mu - sigma^2/2) dt + sigma dW. El logaritmo del precio es un movimiento browniano aritmético, que es exactamente por qué la solución del MBG tiene mu - sigma^2/2 en el exponente. La convexidad de exp y la concavidad de ln son dos caras del mismo hecho.

def ito_drift(s, mu, sigma, f_t, f_s, f_ss):
    return f_t + mu * s * f_s + 0.5 * sigma ** 2 * s ** 2 * f_ss

def log_drift(mu, sigma):
    s = 1.0                                        # the answer does not depend on s
    return ito_drift(s, mu, sigma, 0.0, 1.0 / s, -1.0 / s ** 2)

print(log_drift(0.08, 0.20))                       # 0.06   = 0.08 - 0.5 * 0.2**2
print(round(log_drift(0.08, 0.60), 4))             # -0.1   a high volatility makes the typical growth negative

Comprobar el lema por simulación

No hace falta creer el lema sin más. Toma muchos movimientos aleatorios de un paso s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * sqrt(dt) * z, calcula f(s_new) - f(s) para una función f, promedia y divide por dt. El resultado converge a la deriva del lema. Con f = S^2 y el término de curvatura omitido, la simulación discrepa visiblemente, la mejor forma de ver que el término extra es real.

import numpy as np

def mean_change_estimate(f, s, mu, sigma, dt, z):
    s_new = s + mu * s * dt + sigma * s * np.sqrt(dt) * z
    return float(np.mean(f(s_new) - f(s)) / dt)

half = np.random.default_rng(1).standard_normal(200_000)
z = np.concatenate([half, -half])                 # pairs of opposite draws: the noise at first order cancels
estimate = mean_change_estimate(lambda x: x ** 2, 100.0, 0.08, 0.2, 0.001, z)
print(round(estimate))                                       # about 2000
print(round(0.08 * 100.0 * 2 * 100.0))                       # 1600  the ordinary chain rule alone: the curvature term (400) is missing

• Lema de Itô: la deriva de f(S, t) es f_t + mu * S * f_S + 0.5 * sigma^2 * S^2 * f_SS y el coeficiente del ruido sigma * S * f_S.
• El término de curvatura existe porque (dW)^2 = dt; para ln S da la deriva mu - sigma^2 / 2 de la solución del MBG.
• Verifique por simulación: el promedio de f(s_new) - f(s) sobre dt coincide con el lema; aplicado al valor de una opción da Black–Scholes.

A continuación: las opciones asiáticas, cuyo pago depende del precio medio durante la vida de la opción.

Lab: qué se califica

• Hallar la deriva de una función con ito_drift25 pts
• Hallar el coeficiente del ruido con ito_diffusion25 pts
• Aplicarlo al logaritmo del precio con log_drift25 pts
• Comprobarlo por simulación con mean_change_estimate25 pts