从独立噪声到相关资产
随机数生成器给出的是独立抽样。资产之间相关，所以模拟投资组合需要具有正确协方差矩阵 Σ 的抽样。乔列斯基分解找到下三角矩阵 L，使 LLᵀ=Σ；于是若 z 是独立标准正态向量，Lz 的协方差恰为 L I Lᵀ=Σ。在 NumPy 中抽样以行的形式给出，所以对形状为 (n, d) 的数组 z 计算 z @ L.T。scipy.linalg.cholesky(cov, lower=True) 完成分解，矩阵不是正定时会报错，这很有用：它是协方差矩阵出问题的警报。用 np.random.default_rng(seed) 设定种子，实验就可以重复。
有了模拟器就能计算风险数字。每次抽样的组合收益是 draws @ w，水平 α 的一日在险价值是这些收益的 α 分位数的相反数（np.quantile）。对正态抽样它应与方差–协方差公式 -(wᵀμ+z_α√(wᵀΣw)) 一致，十二个资产上确实如此：模拟为 2.07%，公式为 2.08%，而历史法为 2.33%，因为真实收益的尾部比任何正态模型都厚。估计出的协方差矩阵也可能出问题：如果把两个资产的相关系数设为不可能的 1.2，最小特征值会变负（约 -6×10⁻⁵），乔列斯基分解会拒绝该矩阵。标准修复用 scipy.linalg.eigh：把低于一个小下限的特征值都抬到下限，重建矩阵并对称化。结果是正定的，与原矩阵只相差约 3×10⁻⁵。
- 乔列斯基把噪声变成相关性：当
cov = L @ L.T时，z @ L.T的协方差为cov。 - 正态抽样下模拟与公式应一致：与历史法的差距就是厚尾的代价。
- 分解失败本身就是信息：把非正定矩阵的小或负特征值抬高来修复。
实验：评分内容
- 乔列斯基因子10 分
- 相关抽样20 分
- 蒙特卡洛在险价值25 分
- 参数法在险价值15 分
- 修复协方差矩阵15 分
- 十二个资产的研究15 分