障碍期权

带暗门的期权

障碍期权是带开关的看涨或看跌期权。敲出期权在价格触及障碍时失效；敲入期权只有在触及时才生效。障碍可以在起始价之上（向上）或之下（向下）。由于买方放弃了一部分收益，障碍期权比普通期权便宜，这也是它流行的原因，在结构化产品中尤其如此。和亚式期权一样，它依赖整条路径，自然的工具就是模拟。

import numpy as np

paths = np.array([[100.0, 105.0, 112.0, 108.0],      # stays below 115
                  [100.0,  98.0, 103.0, 110.0],      # stays below 115
                  [100.0, 120.0,  95.0,  90.0]])     # touches 115 on day 1, then falls

hit_up = paths.max(axis=1) >= 115.0                  # the maximum of each path against the barrier
print(hit_up)                                        # [False False  True]
print(paths.min(axis=1) <= 96.0)                     # a down barrier at 96: [False False  True]

# hit_barrier for both directions, with an error for anything else
import numpy as np

def hit_barrier(paths, barrier, direction):
    if direction == "up":
        return paths.max(axis=1) >= barrier
    if direction == "down":
        return paths.min(axis=1) <= barrier
    raise ValueError("direction must be 'up' or 'down'")

paths = np.array([[100.0, 110.0, 105.0], [100.0, 109.9, 105.0]])
print(hit_barrier(paths, 110.0, "up"))                  # [ True False]: touching the barrier exactly counts
try:
    hit_barrier(paths, 110.0, "sideways")
except ValueError as error:
    print("rejected:", error)

敲出、敲入及其和

对每条路径，计算普通看涨期权的收益 max(S_T - K, 0) 以及障碍标志。敲出看涨期权在*未*触及障碍的路径上保留收益；敲入看涨期权在触及的路径上保留收益。每条路径只会是二者之一，所以逐条路径都有*敲入 + 敲出 = 普通看涨*，这是个方便的恒等式：定价较容易的那个就能顺便得到另一个，还可用来检验代码。np.where(hit, a, b) 按元素在两个数组之间选择。

import numpy as np

paths = np.array([[100.0, 105.0, 112.0, 108.0],
                  [100.0,  98.0, 103.0, 110.0],
                  [100.0, 120.0,  95.0, 130.0]])
strike, barrier = 100.0, 115.0

vanilla = np.maximum(paths[:, -1] - strike, 0.0)
hit = paths.max(axis=1) >= barrier
knock_out = np.where(hit, 0.0, vanilla)
knock_in = np.where(hit, vanilla, 0.0)

print(vanilla, knock_out, knock_in)                      # [ 8. 10. 30.] [ 8. 10.  0.] [ 0.  0. 30.]
print(np.allclose(knock_in + knock_out, vanilla))        # True

定价与离散监测偏差

价格仍是折现后的平均收益。但要留意障碍的检验：模拟只在网格日期上看价格，而真实的连续障碍在日期*之间*也会被突破。步数少时，模拟路径常常悄悄越过障碍，导致敲出看涨期权算得太贵、敲入算得太便宜。增加步数可以减小偏差，把障碍平移约 0.5826 * sigma * sqrt(dt) 的修正也可以。

import numpy as np

def simulate_paths(s0, rate, sigma, t, steps, n_paths, rng):
    dt = t / steps
    z = rng.standard_normal((n_paths, steps))
    moves = (rate - 0.5 * sigma ** 2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * z
    return s0 * np.exp(np.hstack([np.zeros((n_paths, 1)), np.cumsum(moves, axis=1)]))

def knock_out_price(paths, strike, barrier, rate, t):
    vanilla = np.maximum(paths[:, -1] - strike, 0.0)
    payoff = np.where(paths.max(axis=1) >= barrier, 0.0, vanilla)
    return float(np.exp(-rate * t) * payoff.mean())

rng = np.random.default_rng(1)
for steps in (12, 52, 252):
    paths = simulate_paths(100.0, 0.05, 0.25, 1.0, steps, 40000, rng)
    print(steps, round(knock_out_price(paths, 100.0, 130.0, 0.05, 1.0), 3))        # the price falls as monitoring gets finer

• 只要路径的最大值（向上）或最小值（向下）在任一日期触及障碍就算触碰；敲出触碰即失效，敲入触碰才生效。
• 逐条路径，敲入 + 敲出 = 普通看涨期权的收益；用 np.where(hit, a, b) 选择；障碍期权比普通期权便宜。
• 在网格上模拟会漏掉日期之间的穿越，使敲出期权显得太贵：增加步数或平移障碍；留意障碍附近的跳空风险。

下一节：对偶变量，用更少的模拟获得同样的蒙特卡洛精度的办法。

实验：评分内容

• 用 hit_barrier 检测触碰25 分
• 用 knock_out_call_payoff 让期权失效25 分
• 用 knock_in_call_payoff 让期权生效25 分
• 用 barrier_price 把收益变成价格25 分