落とし戸のあるオプション
バリアオプションは、オン・オフのスイッチが付いたコールまたはプットです。ノックアウト型は価格がバリアに触れると消滅し、ノックイン型は触れたときにだけ発生します。バリアは開始価格より上（アップ）にも下（ダウン）にも置けます。買い手はペイオフの一部を手放すため通常のオプションより安く、その点で、またストラクチャード商品で人気です。アジアンと同じく経路全体に依存するため、自然な道具はシミュレーションです。
import numpy as np
paths = np.array([[100.0, 105.0, 112.0, 108.0], # stays below 115
[100.0, 98.0, 103.0, 110.0], # stays below 115
[100.0, 120.0, 95.0, 90.0]]) # touches 115 on day 1, then falls
hit_up = paths.max(axis=1) >= 115.0 # the maximum of each path against the barrier
print(hit_up) # [False False True]
print(paths.min(axis=1) <= 96.0) # a down barrier at 96: [False False True]# hit_barrier for both directions, with an error for anything else
import numpy as np
def hit_barrier(paths, barrier, direction):
if direction == "up":
return paths.max(axis=1) >= barrier
if direction == "down":
return paths.min(axis=1) <= barrier
raise ValueError("direction must be 'up' or 'down'")
paths = np.array([[100.0, 110.0, 105.0], [100.0, 109.9, 105.0]])
print(hit_barrier(paths, 110.0, "up")) # [ True False]: touching the barrier exactly counts
try:
hit_barrier(paths, 110.0, "sideways")
except ValueError as error:
print("rejected:", error)ノックアウト、ノックイン、その和
各経路で、通常のコールのペイオフ max(S_T - K, 0) とバリアのフラグを計算します。ノックアウト・コールはバリアに触れて*いない*経路でペイオフを残し、ノックイン・コールは触れた経路で残します。どの経路もどちらか一方なので、経路ごとに*イン＋アウト＝通常のコール*が成り立ちます。簡単な方を値付けすれば他方も得られ、コードの検算にも使えます。np.where(hit, a, b) は配列を要素ごとに選びます。
import numpy as np
paths = np.array([[100.0, 105.0, 112.0, 108.0],
[100.0, 98.0, 103.0, 110.0],
[100.0, 120.0, 95.0, 130.0]])
strike, barrier = 100.0, 115.0
vanilla = np.maximum(paths[:, -1] - strike, 0.0)
hit = paths.max(axis=1) >= barrier
knock_out = np.where(hit, 0.0, vanilla)
knock_in = np.where(hit, vanilla, 0.0)
print(vanilla, knock_out, knock_in) # [ 8. 10. 30.] [ 8. 10. 0.] [ 0. 0. 30.]
print(np.allclose(knock_in + knock_out, vanilla)) # True値付けと離散監視バイアス
価格はこれまでと同じく割引した平均ペイオフです。ただしバリア判定に注意してください。シミュレーションは格子点の日付でしか価格を見ませんが、本物の連続バリアは日付の*間*でも破られます。ステップが少ないと、シミュレーションされた経路がバリアを見えないまま越えることがよくあり、ノックアウト・コールは高く、ノックインは安く出ます。ステップを増やすとバイアスは減り、バリアを約 0.5826 * sigma * sqrt(dt) ずらす補正でも減ります。
import numpy as np
def simulate_paths(s0, rate, sigma, t, steps, n_paths, rng):
dt = t / steps
z = rng.standard_normal((n_paths, steps))
moves = (rate - 0.5 * sigma ** 2) * dt + sigma * np.sqrt(dt) * z
return s0 * np.exp(np.hstack([np.zeros((n_paths, 1)), np.cumsum(moves, axis=1)]))
def knock_out_price(paths, strike, barrier, rate, t):
vanilla = np.maximum(paths[:, -1] - strike, 0.0)
payoff = np.where(paths.max(axis=1) >= barrier, 0.0, vanilla)
return float(np.exp(-rate * t) * payoff.mean())
rng = np.random.default_rng(1)
for steps in (12, 52, 252):
paths = simulate_paths(100.0, 0.05, 0.25, 1.0, steps, 40000, rng)
print(steps, round(knock_out_price(paths, 100.0, 130.0, 0.05, 1.0), 3)) # the price falls as monitoring gets finerバリアのリスクはギャップのリスクバリアの近くでは、バリアオプションのデルタとガンマが跳ね上がり、わずかな値動きでペイオフ全体がオンにもオフにもなります。そのためバリア付近のノックアウトのヘッジは難しく、デスクはその分を価格に上乗せします。バリア付近で誰が価格を左右できるかにも注意が必要です。市場を動かしたい誘惑は現実にあるため、契約はどの価格（終値や取引所の値）を採用するかを厳密に定めています。
- 経路の最大値（アップ）または最小値（ダウン）がいずれかの日にバリアへ届けば触れたことになる。ノックアウトは接触で消え、ノックインは接触で発生する
- 経路ごとに、ノックイン＋ノックアウト＝通常のコールのペイオフ。
np.where(hit, a, b)で選ぶ。バリアオプションは通常のものより安い - 格子上のシミュレーションは日付の間の突破を見逃し、ノックアウトが高く出る。ステップを増やすかバリアをずらす。バリア付近のギャップリスクにも注意
次は対称変量法です。より少ないシミュレーションで同じモンテカルロ精度を得る方法です。
ラボ：採点される内容
hit_barrierでバリアへの接触を検出する25点knock_out_call_payoffでオプションを消滅させる25点knock_in_call_payoffでオプションを発生させる25点barrier_priceでペイオフを価格に変える25点