A variação percentual
Preços são difíceis de comparar: um movimento de US$ 5 significa uma coisa numa ação de US$ 20 e outra numa de US$ 500. Um retorno simples remove a escala. É a variação de preço como fração do preço anterior, de modo que +2% significa o mesmo em qualquer ativo.
No pandas, prices.shift(1) desloca cada valor um passo para baixo, de modo que cada linha vê o preço anterior. Dividir por ele calcula todos os retornos de uma vez, e o primeiro é NaN porque não há preço anterior. prices.pct_change() faz o mesmo numa só chamada.
import pandas as pd
prices = pd.Series([100.0, 102.0, 100.98, 103.0], index=["Mon", "Tue", "Wed", "Thu"])
returns = prices / prices.shift(1) - 1
print(returns.round(4))
# Mon NaN
# Tue 0.02
# Wed -0.01
# Thu 0.02
# dtype: float64
print(prices.pct_change().round(4).tolist()) # [nan, 0.02, -0.01, 0.02]Os retornos se compõem, não se somam
Um dia de +2% seguido de um dia de -1% não dá +1% em dois dias. Cada retorno se aplica a um preço inicial diferente, então os fatores de crescimento 1 + r se multiplicam: o retorno total é (1 + r1) * (1 + r2) * ... - 1. Ignore o NaN da primeira linha (prod o ignora) e o resultado coincide com o preço final dividido pelo inicial, menos um. Somar os retornos chega perto, mas está errado, e a diferença cresce com a volatilidade.
# Compounding the returns gives the same total as the end price over the start price
returns = prices.pct_change().dropna()
print(round((1 + returns).prod() - 1, 6)) # 0.03
print(round(prices.iloc[-1] / prices.iloc[0] - 1, 6)) # 0.03
print(round(returns.sum(), 6)) # 0.030004 close, but not the same
print((1 + returns).cumprod().round(4).tolist()) # [1.02, 1.0098, 1.03] the growth of 1 dollar# Gains and losses are not symmetric: +10% then -10% does not get you back
up, down = 0.10, -0.10
print(round((1 + up) * (1 + down) - 1, 4)) # -0.01
# After a -50% loss you need +100% to recover
print(1 / (1 - 0.5) - 1) # 1.0Entre ativos e entre anos
Os retornos simples somam-se entre ativos: o retorno de uma carteira num período é a soma de peso * retorno das suas posições. Com Series, weights * returns casa as entradas pelo rótulo, então a ordem dos símbolos não importa (com .values você perde essa proteção). No tempo eles não se somam, compõem-se: para citar uma taxa anual a partir de um período mais curto, eleva-se o fator de crescimento à potência dias_úteis / dias.
# Weights times returns, matched by label (the order of the symbols differs on purpose)
weights = pd.Series({"AAPL": 0.5, "MSFT": 0.3, "TSLA": 0.2})
day = pd.Series({"TSLA": -0.03, "AAPL": 0.012, "MSFT": 0.004})
print(round((weights * day).sum(), 4)) # 0.0012 correct: AAPL with AAPL, TSLA with TSLA
print(round((weights.values * day.values).sum(), 4)) # -0.0106 wrong: position by position, TSLA met AAPL's weight# Annualising: 5% in 60 trading days, if it kept compounding at that pace for a year of 252 days
total, days = 0.05, 60
print(round((1 + total) ** (252 / days) - 1, 4)) # 0.2274daily_returns.- Um retorno simples é
preço / preço anterior - 1:prices / prices.shift(1) - 1ouprices.pct_change(); a primeira entrada éNaN. - No tempo os retornos se compõem:
(1 + returns).prod() - 1, nuncareturns.sum(). - Entre ativos somam-se com pesos:
(weights * returns).sum(), casados pelo rótulo.
A seguir: os retornos logarítmicos, uma alternativa que se soma no tempo e é a escolha habitual em estatística.
Lab: o que é avaliado
- Transformar preços em retornos por período com
simple_returns25 pts - Compor os retornos em um total com
cumulative_return25 pts - Ponderar os retornos dos ativos em um número com
portfolio_return25 pts - Expressar um retorno como taxa anual com
annualized_return25 pts