単純リターン

変化率

価格は比較しにくいものです。5ドルの動きは20ドルの株と500ドルの株では意味が違います。単純リターンは規模を取り除きます。前の価格に対する価格変化の割合なので、+2% はどの資産でも同じ意味になります。

pandas では prices.shift(1) が各値を1つ下にずらすので、各行が前の価格を見られます。それで割ればすべてのリターンが一度に求まり、最初は前の価格がないので NaN です。prices.pct_change() なら1回の呼び出しで同じ結果になります。

import pandas as pd

prices = pd.Series([100.0, 102.0, 100.98, 103.0], index=["Mon", "Tue", "Wed", "Thu"])

returns = prices / prices.shift(1) - 1
print(returns.round(4))
# Mon     NaN
# Tue    0.02
# Wed   -0.01
# Thu    0.02
# dtype: float64

print(prices.pct_change().round(4).tolist())   # [nan, 0.02, -0.01, 0.02]

リターンは足すのではなく複利で積み上がる

+2% の日の次に -1% の日が来ても、2日間で +1% にはなりません。各リターンは異なる出発価格にかかるので、成長係数 1 + r を掛け合わせます。総リターンは (1 + r1) * (1 + r2) * ... - 1 です。最初の行の NaN は除き（prod は無視します）、結果は最終価格を最初の価格で割って1を引いた値と一致します。リターンの単純な合計は近い値になりますが誤りで、ボラティリティが大きいほど差が開きます。

# Compounding the returns gives the same total as the end price over the start price
returns = prices.pct_change().dropna()

print(round((1 + returns).prod() - 1, 6))            # 0.03
print(round(prices.iloc[-1] / prices.iloc[0] - 1, 6))   # 0.03
print(round(returns.sum(), 6))                       # 0.030004   close, but not the same

print((1 + returns).cumprod().round(4).tolist())     # [1.02, 1.0098, 1.03]   the growth of 1 dollar

# Gains and losses are not symmetric: +10% then -10% does not get you back
up, down = 0.10, -0.10
print(round((1 + up) * (1 + down) - 1, 4))   # -0.01

# After a -50% loss you need +100% to recover
print(1 / (1 - 0.5) - 1)   # 1.0

資産をまたぐ場合と年をまたぐ場合

単純リターンは資産をまたいで足し算できます。ポートフォリオの1期間のリターンは、各保有の ウェイト * リターン の合計です。Series なら weights * returns がラベルで対応させるので銘柄の順序は関係ありません（.values を使うとこの安全性が失われます）。時間方向では足し算ではなく複利になるので、短い期間から年率を示すには成長係数を 営業日数 / 日数 乗します。

# Weights times returns, matched by label (the order of the symbols differs on purpose)
weights = pd.Series({"AAPL": 0.5, "MSFT": 0.3, "TSLA": 0.2})
day = pd.Series({"TSLA": -0.03, "AAPL": 0.012, "MSFT": 0.004})

print(round((weights * day).sum(), 4))               # 0.0012   correct: AAPL with AAPL, TSLA with TSLA
print(round((weights.values * day.values).sum(), 4))   # -0.0106  wrong: position by position, TSLA met AAPL's weight

# Annualising: 5% in 60 trading days, if it kept compounding at that pace for a year of 252 days
total, days = 0.05, 60
print(round((1 + total) ** (252 / days) - 1, 4))   # 0.2274

• 単純リターンは 価格 / 前の価格 - 1。prices / prices.shift(1) - 1 または prices.pct_change() で、最初の要素は NaN
• 時間方向ではリターンは複利：(1 + returns).prod() - 1（returns.sum() ではない）
• 資産をまたぐときはウェイト付きで足す：(weights * returns).sum()（ラベルで対応）

次は対数リターンです。時間方向に足し算でき、統計でよく使われる代替手段です。

ラボ：採点される内容

• simple_returns で価格を期間ごとのリターンに変換する25点
• cumulative_return でリターンを複利で合成して合計を求める25点
• portfolio_return で各資産のリターンを加重して1つの数にする25点
• annualized_return でリターンを年率で表す25点