オプションのペイオフ

権利であって義務ではない

オプションは、保有者に、ある日（満期）まで、またはその日に、固定価格（権利行使価格）で資産を取引する権利（義務ではない）を与えます。コールは買う権利、プットは売る権利です。満期に保有者は、得になるときだけ権利を使います。行使価格100のコールで株が110なら、110の価値のものを100で買えるのでペイオフは10です。株が90なら何もせず、ペイオフは0で、負にはなりません。この片側性がオプションに価値を与えます。

import numpy as np

spot = np.array([80, 90, 100, 110, 120.0])      # possible prices of the stock at expiry
strike = 100

call = np.maximum(spot - strike, 0)              # np.maximum works element by element: no loop, no if
put = np.maximum(strike - spot, 0)
print(call.tolist())     # [0.0, 0.0, 0.0, 10.0, 20.0]
print(put.tolist())      # [20.0, 10.0, 0.0, 0.0, 0.0]

損益はペイオフからプレミアムを引いたもの

オプションには今日の価格、つまりプレミアムがあるので、利益はペイオフから支払った額を引いたものです。6で買ったコールは、株が行使価格を下回って終われば6を失い、行使価格 + プレミアム = 106 で損益ゼロになります。オプションを組み合わせると別の形ができます。ロング・ストラドル（同じ行使価格のコールとプット）は、どちらへの大きな動きでも利益になり、株が動かなければ両方のプレミアムを失います。ブル・コール・スプレッド（100のコール買いと110のコール売り）はコストが小さい代わりに、利益は行使価格の差で頭打ちになります。コストを下げるために110超の上昇分を手放すのです。

call_pnl = call - 6                                        # bought for a premium of 6
print(call_pnl.tolist())                                   # [-6.0, -6.0, -6.0, 4.0, 14.0]   break-even at 106

straddle = call + put - (4.0 + 3.5)                        # a call (4.0) and a put (3.5) at the same strike
print(straddle.tolist())                                   # [12.5, 2.5, -7.5, 2.5, 12.5]   wins on a move up or down

spread = np.maximum(spot - 100, 0) - np.maximum(spot - 110, 0) - (6.0 - 2.0)   # long the 100 call, short the 110 call
print(spread.tolist())                                     # [-4.0, -4.0, -4.0, 6.0, 6.0]   loss and gain are both capped

short_call = 6 - call                 # the seller of the call keeps the premium and pays the payoff
print(short_call.tolist())             # [6.0, 6.0, 6.0, -4.0, -14.0]   the exact mirror of the buyer's loss and gain

print(float(np.maximum(112 - 100, 0)))      # 12.0   a single price works as well as an array

• コールのペイオフ max(S - K, 0)、プットのペイオフ max(K - S, 0)。np.maximum(..., 0) で配列全体に適用できる
• 損益 = ペイオフ - プレミアム。ストラドル（コール＋プット）は大きな動きに賭け、ブル・コール・スプレッドはコストと利益に上限を付ける
• ペイオフは満期時点の価値。今日の価格は時間価値の分だけ高く、それは次のトピックで価格付けする

次はプット・コール・パリティです。コールの価格とプットの価格の厳密な関係を学びます。

ラボ：採点される内容

• call_payoff で買う権利のペイオフを求める25点
• put_payoff で売る権利のペイオフを求める25点
• long_straddle_pnl でどちらへの大きな動きにも賭ける25点
• bull_call_spread_pnl でコストと利益に上限を付ける25点