Variables de contrôle

Utiliser ce que l'on sait déjà

En simulant un call, vous simulez aussi le prix de l'action à l'échéance S_T, dont la vraie moyenne S0 * exp(r * T) est exactement connue. Dans votre échantillon, la moyenne de S_T est sortie un peu fausse, disons trop haute. Comme le gain du call et S_T évoluent ensemble, la moyenne empirique du call est probablement trop haute aussi. Une variable de contrôle exploite cela : elle retranche à l'estimation de la quantité voulue un multiple de l'erreur observée sur la quantité connue.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(2000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)             # terminal prices
call = np.maximum(s_t - 100.0, 0.0)                                  # the payoff we want

known = 100.0 * np.exp(0.05)                                         # E[S_T], exactly
print(round(float(s_t.mean()), 3), round(known, 3))                  # the sample mean of S_T vs its true mean
print(round(float(s_t.mean() - known), 3))                           # the observed error of the control

Le meilleur multiple

Quelle part de l'erreur du contrôle faut-il retrancher ? Le multiple b qui minimise la variance de payoff - b * control vaut b = cov(payoff, control) / var(control), exactement la pente de la régression du gain sur le contrôle (les mêmes sommes que le bêta du sujet MEDAF). L'estimation contrôlée est mean(payoff) - b * (mean(control) - known_mean). Elle est sans biais, car le terme retranché est d'espérance nulle.

import numpy as np

def control_coefficient(payoff, control):
    dev = control - control.mean()
    return float(np.sum(dev * (payoff - payoff.mean())) / np.sum(dev ** 2))

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(2000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)
call = np.maximum(s_t - 100.0, 0.0)
known = 100.0 * np.exp(0.05)

b = control_coefficient(call, s_t)
controlled = call.mean() - b * (s_t.mean() - known)
print(round(b, 4), round(float(call.mean()), 4), round(float(controlled), 4))       # the plain mean and the corrected one

# A payoff that is exactly proportional to the control is estimated without any error
import numpy as np

x = np.random.default_rng(2).standard_normal(50) + 5.0          # the control, known mean 5.0
y = 2.0 * x                                                      # the payoff
dev = x - x.mean()
b = np.sum(dev * (y - y.mean())) / np.sum(dev ** 2)
print(round(float(b), 6), round(float(y.mean() - b * (x.mean() - 5.0)), 6))      # 2.0 and exactly 10.0

Combien d'erreur est économisée

Les échantillons ajustés payoff - b * control portent le bruit, donc l'erreur standard de l'estimation contrôlée est leur écart-type (ddof=1) divisé par sqrt(n). Avec une corrélation rho entre gain et contrôle, la variance diminue d'un facteur 1 - rho^2 : une corrélation de 0,9 en supprime 81 %, et 0,99 en supprime 98 %. Le contrôle ne coûte aucune simulation supplémentaire, seulement quelques lignes de plus.

import numpy as np

def control_variate_error(payoff, control):
    dev = control - control.mean()
    b = np.sum(dev * (payoff - payoff.mean())) / np.sum(dev ** 2)
    return float((payoff - b * control).std(ddof=1) / np.sqrt(len(payoff)))

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(20000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)
for strike in (80.0, 100.0, 120.0):
    call = np.maximum(s_t - strike, 0.0)
    plain = float(call.std(ddof=1) / np.sqrt(len(call)))
    print(strike, round(plain, 4), round(control_variate_error(call, s_t), 4), round(plain / control_variate_error(call, s_t), 2))

• Une variable de contrôle est une quantité simulée de moyenne connue ; on retranche à l'estimation un multiple de son erreur observée : mean(Y) - b * (mean(X) - E[X]).
• Le meilleur multiple est la pente de régression b = cov(Y, X) / var(X) ; l'erreur est l'écart-type de Y - b * X divisé par sqrt(n).
• La variance diminue de 1 - rho^2 ; un bon contrôle est très corrélé au gain et de moyenne exactement connue, et ne coûte aucune simulation supplémentaire.

À suivre : les pipelines scikit-learn pour les rendements, ajuster et évaluer des modèles prédictifs sur des rendements.

Lab : ce qui est noté

• Choisir le bon multiple avec control_coefficient25 pts
• Corriger l'estimation avec control_variate_estimate25 pts
• Réduire la barre d'erreur avec control_variate_error25 pts
• Compter le gain avec error_reduction25 pts