Kontrollvariablen

Nutzen, was man schon weiß

Beim Simulieren eines Calls simuliert man auch den Aktienkurs bei Verfall S_T, dessen wahren Mittelwert S0 * exp(r * T) man genau kennt. In der Stichprobe kam der Mittelwert von S_T etwas daneben heraus, sagen wir zu hoch. Da Call-Auszahlung und S_T zusammen laufen, ist auch der Stichprobenmittelwert des Calls wahrscheinlich zu hoch. Eine Kontrollvariable nutzt das: Sie zieht von der Schätzung der gesuchten Größe ein Vielfaches des beobachteten Fehlers der bekannten Größe ab.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(2000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)             # terminal prices
call = np.maximum(s_t - 100.0, 0.0)                                  # the payoff we want

known = 100.0 * np.exp(0.05)                                         # E[S_T], exactly
print(round(float(s_t.mean()), 3), round(known, 3))                  # the sample mean of S_T vs its true mean
print(round(float(s_t.mean() - known), 3))                           # the observed error of the control

Das beste Vielfache

Wie viel vom Fehler der Kontrolle sollte man abziehen? Das Vielfache b, das die Varianz von payoff - b * control minimiert, ist b = cov(payoff, control) / var(control), genau die Steigung der Regression der Auszahlung auf die Kontrolle (dieselben Summen wie das Beta im CAPM-Thema). Die kontrollierte Schätzung ist mean(payoff) - b * (mean(control) - known_mean). Sie ist unverzerrt, weil der abgezogene Term den Erwartungswert null hat.

import numpy as np

def control_coefficient(payoff, control):
    dev = control - control.mean()
    return float(np.sum(dev * (payoff - payoff.mean())) / np.sum(dev ** 2))

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(2000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)
call = np.maximum(s_t - 100.0, 0.0)
known = 100.0 * np.exp(0.05)

b = control_coefficient(call, s_t)
controlled = call.mean() - b * (s_t.mean() - known)
print(round(b, 4), round(float(call.mean()), 4), round(float(controlled), 4))       # the plain mean and the corrected one

# A payoff that is exactly proportional to the control is estimated without any error
import numpy as np

x = np.random.default_rng(2).standard_normal(50) + 5.0          # the control, known mean 5.0
y = 2.0 * x                                                      # the payoff
dev = x - x.mean()
b = np.sum(dev * (y - y.mean())) / np.sum(dev ** 2)
print(round(float(b), 6), round(float(y.mean() - b * (x.mean() - 5.0)), 6))      # 2.0 and exactly 10.0

Wie viel Fehler gespart wird

Die angepassten Stichproben payoff - b * control tragen das Rauschen, der Standardfehler der kontrollierten Schätzung ist also ihre Standardabweichung (ddof=1) durch sqrt(n). Bei Korrelation rho zwischen Auszahlung und Kontrolle sinkt die Varianz um den Faktor 1 - rho^2: Eine Korrelation von 0,9 beseitigt 81 %, 0,99 beseitigt 98 %. Die Kontrolle kostet keine zusätzliche Simulation, nur ein paar Zeilen mehr.

import numpy as np

def control_variate_error(payoff, control):
    dev = control - control.mean()
    b = np.sum(dev * (payoff - payoff.mean())) / np.sum(dev ** 2)
    return float((payoff - b * control).std(ddof=1) / np.sqrt(len(payoff)))

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(20000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)
for strike in (80.0, 100.0, 120.0):
    call = np.maximum(s_t - strike, 0.0)
    plain = float(call.std(ddof=1) / np.sqrt(len(call)))
    print(strike, round(plain, 4), round(control_variate_error(call, s_t), 4), round(plain / control_variate_error(call, s_t), 2))

• Eine Kontrollvariable ist eine simulierte Größe mit bekanntem Mittelwert; von der Schätzung zieht man ein Vielfaches ihres beobachteten Fehlers ab: mean(Y) - b * (mean(X) - E[X]).
• Das beste Vielfache ist die Regressionssteigung b = cov(Y, X) / var(X); der Fehler ist die Standardabweichung von Y - b * X durch sqrt(n).
• Die Varianz sinkt um den Faktor 1 - rho^2; eine gute Kontrolle ist stark mit der Auszahlung korreliert, hat einen exakt bekannten Mittelwert und kostet keine zusätzliche Simulation.

Als Nächstes: scikit-learn-Pipelines für Renditen, Vorhersagemodelle auf Renditedaten anpassen und bewerten.

Lab: Was bewertet wird

• Mit control_coefficient das richtige Vielfache wählen25 Pkt.
• Mit control_variate_estimate die Schätzung korrigieren25 Pkt.
• Mit control_variate_error den Fehlerbalken verkleinern25 Pkt.
• Mit error_reduction den Gewinn beziffern25 Pkt.