متغيرات التحكم

استخدام ما تعرفه أصلًا

عند محاكاة كول تحاكي أيضًا سعر السهم عند الانتهاء S_T الذي تعرف متوسطه الحقيقي S0 * exp(r * T) تمامًا. وفي عينتك خرج متوسط S_T منحرفًا قليلًا، لنقل مرتفعًا جدًا. ولأن مدفوع الكول وS_T يتحركان معًا فمتوسط عينة الكول مرتفع على الأرجح أيضًا. والمتغير الضابط يستغل ذلك: يطرح من تقدير المطلوب مضاعفًا للخطأ المرصود في الكمية المعروفة.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(2000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)             # terminal prices
call = np.maximum(s_t - 100.0, 0.0)                                  # the payoff we want

known = 100.0 * np.exp(0.05)                                         # E[S_T], exactly
print(round(float(s_t.mean()), 3), round(known, 3))                  # the sample mean of S_T vs its true mean
print(round(float(s_t.mean() - known), 3))                           # the observed error of the control

أفضل مضاعف

كم من خطأ الضابط ينبغي أن تطرح؟ المضاعف b الذي يصغّر تباين payoff - b * control هو b = cov(payoff, control) / var(control)، وهو بالضبط ميل انحدار المدفوع على الضابط (المجاميع نفسها في بيتا موضوع CAPM). والتقدير المضبوط هو mean(payoff) - b * (mean(control) - known_mean). وهو غير متحيز لأن الحد المطروح توقعه صفر.

import numpy as np

def control_coefficient(payoff, control):
    dev = control - control.mean()
    return float(np.sum(dev * (payoff - payoff.mean())) / np.sum(dev ** 2))

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(2000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)
call = np.maximum(s_t - 100.0, 0.0)
known = 100.0 * np.exp(0.05)

b = control_coefficient(call, s_t)
controlled = call.mean() - b * (s_t.mean() - known)
print(round(b, 4), round(float(call.mean()), 4), round(float(controlled), 4))       # the plain mean and the corrected one

# A payoff that is exactly proportional to the control is estimated without any error
import numpy as np

x = np.random.default_rng(2).standard_normal(50) + 5.0          # the control, known mean 5.0
y = 2.0 * x                                                      # the payoff
dev = x - x.mean()
b = np.sum(dev * (y - y.mean())) / np.sum(dev ** 2)
print(round(float(b), 6), round(float(y.mean() - b * (x.mean() - 5.0)), 6))      # 2.0 and exactly 10.0

كم من الخطأ يُوفَّر

العينات المعدلة payoff - b * control هي التي تحمل الضجيج، فالخطأ المعياري للتقدير المضبوط هو انحرافها المعياري (ddof=1) على sqrt(n). ومع ارتباط rho بين المدفوع والضابط ينخفض التباين بعامل 1 - rho^2: ارتباط 0.9 يزيل 81% منه و0.99 يزيل 98%. ولا يكلف الضابط محاكاة إضافية بل بضعة أسطر.

import numpy as np

def control_variate_error(payoff, control):
    dev = control - control.mean()
    b = np.sum(dev * (payoff - payoff.mean())) / np.sum(dev ** 2)
    return float((payoff - b * control).std(ddof=1) / np.sqrt(len(payoff)))

rng = np.random.default_rng(1)
z = rng.standard_normal(20000)
s_t = 100.0 * np.exp((0.05 - 0.5 * 0.2 ** 2) + 0.2 * z)
for strike in (80.0, 100.0, 120.0):
    call = np.maximum(s_t - strike, 0.0)
    plain = float(call.std(ddof=1) / np.sqrt(len(call)))
    print(strike, round(plain, 4), round(control_variate_error(call, s_t), 4), round(plain / control_variate_error(call, s_t), 2))

• المتغير الضابط كمية محاكاة معروف متوسطها؛ يُطرح من التقدير مضاعف لخطئه المرصود: mean(Y) - b * (mean(X) - E[X]).
• أفضل مضاعف هو ميل الانحدار b = cov(Y, X) / var(X)؛ والخطأ هو الانحراف المعياري لـY - b * X على sqrt(n).
• ينخفض التباين بـ1 - rho^2؛ والضابط الجيد شديد الارتباط بالمدفوع ومتوسطه معروف تمامًا ولا يكلف محاكاة إضافية.

التالي: خطوط scikit-learn للعوائد، ملاءمة النماذج التنبؤية وتقييمها على بيانات العوائد.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• اختر المضاعف الصحيح باستخدام control_coefficient25 نقطة
• صحّح التقدير باستخدام control_variate_estimate25 نقطة
• قلّص هامش الخطأ باستخدام control_variate_error25 نقطة
• احسب المكسب باستخدام error_reduction25 نقطة