أخذ العينات من التوزيعات

من المنتظم إلى أي شيء

يعطي المولّد أعدادًا موزعة بانتظام بين 0 و1. وتحتاج النماذج أشكالًا أخرى: عملة تربح 30% من المرات وزمن انتظار بين الصفقات وعائد يومي طبيعي. والحيلة واحدة: تطبيق تحويل على أعداد منتظمة. وأعمّها التحويل العكسي: إذا كانت F دالة التوزيع التراكمي لما تريد فإن F⁻¹(u) لمتغير منتظم u له هذا التوزيع بالضبط. وتمر مصفوفات كاملة عبر التحويل دفعة واحدة.

import math
import numpy as np

# Exponential waiting times with rate 2 (a mean of 0.5): F(x) = 1 - exp(-rate * x), so x = -ln(1 - u) / rate
u = np.array([0.1, 0.5, 0.9])
print((-np.log(1 - u) / 2).round(4).tolist())       # [0.0527, 0.3466, 1.1513]   small u, short wait

rng = np.random.default_rng(42)
waits = -np.log(1 - rng.random(100000)) / 2
print(round(waits.mean(), 2))                        # 0.5   the mean is 1 / rate

النتائج المتقطعة والتوزيع الطبيعي

لجدول نتائج متقطع يقوم rng.choice(values, size=n, p=probs) بالتحويل العكسي عنك: يسحب كل قيمة باحتمالها، مثل يوم -2% أو 0% أو +3% باحتمالات 20% و50% و30%. وللتوزيع الطبيعي ليس لمعكوس دالته صيغة بسيطة، ومن الحيل الكلاسيكية تحويل بوكس-مولر: من عددين منتظمين مستقلين u1 وu2 يكون z = sqrt(-2 ln u1) * cos(2 pi u2) سحبة طبيعية معيارية. عمليًا يفعل rng.standard_normal(n) ذلك أسرع، لكن كتابته مرة واحدة تبيّن أنه لا سحر هنا.

rng = np.random.default_rng(3)
days = rng.choice(np.array([-0.02, 0.0, 0.03]), size=100000, p=[0.2, 0.5, 0.3])
print(round(days.mean(), 3), round(0.2 * -0.02 + 0.3 * 0.03, 3))     # 0.005 0.005   the sample mean matches the table

rng = np.random.default_rng(42)
u1, u2 = 1 - rng.random(100000), rng.random(100000)                   # 1 - random() is in (0, 1]: never log(0)
z = np.sqrt(-2 * np.log(u1)) * np.cos(2 * math.pi * u2)
print(abs(z.mean()) < 0.02, round(z.std(), 2))                        # True 1.0   mean 0 and standard deviation 1

من السحوبات الطبيعية إلى الأسعار

السحبة الطبيعية المعيارية z صدمة؛ والنموذج هو الذي يقرر كيف تحرك السعر. النموذج المعتاد للسهم، الحركة البراونية الهندسية، يقول إن السعر بعد t سنة هو S = S0 * exp((mu - 0.5 sigma²) t + sigma sqrt(t) z). وهو لوغاريتمي طبيعي: موجب دائمًا وله الذيل الأيمن الطويل الذي للأسعار الحقيقية. ويصحح الحد -0.5 sigma² المتوسط ليكبر السعر المتوقع بمعدل mu بالضبط: E[S] = S0 * exp(mu t). والوسيط أقل من المتوسط، ولهذا كانت النتيجة النموذجية أسوأ من المتوسطة.

s0, mu, sigma, t = 100, 0.08, 0.2, 1
z = np.array([-1.0, 0.0, 1.0])                         # a one-sigma loss, no shock, a one-sigma gain
prices = s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * z)
print(prices.round(2).tolist())                         # [86.94, 106.18, 129.69]   all positive, the upside is larger

draws = np.random.default_rng(0).standard_normal(100000)
simulated = s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * draws)
print(round(simulated.mean(), 1), round(s0 * math.exp(mu * t), 1))     # 108.3 108.3   the mean grows at mu
print(round(float(np.median(simulated)), 1))                           # 106.1         the median is lower

# NumPy ships ready-made samplers too; the transformations above show what they do inside
z = np.random.default_rng(0).standard_normal(100000)
print(abs(z.mean()) < 0.02, round(z.std(), 2))      # True 1.0   standard_normal: mean 0, standard deviation 1

• التحويل العكسي: تطبيق معكوس دالة التوزيع على أعداد منتظمة؛ الأسي: -ln(1 - u) / rate.
• rng.choice(values, size=n, p=probs) تسحب من جدول متقطع؛ وبوكس-مولر sqrt(-2 ln u1) * cos(2 pi u2) يصنع سحوبات طبيعية.
• السعر بعد t سنة: S0 * exp((mu - 0.5 sigma²) t + sigma sqrt(t) z) لوغاريتمي طبيعي؛ قارن دائمًا عيّنة كبيرة بالمتوسط الدقيق.

التالي: تقدير مونت كارلو، استخدام السحوبات العشوائية لحساب متوسطات واحتمالات لا صيغة لها.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• اسحب من جدول نتائج باستخدام sample_discrete25 نقطة
• اعكس دالة التوزيع باستخدام exponential_from_uniform25 نقطة
• اصنع أعدادًا بشكل الجرس باستخدام box_muller25 نقطة
• حوّل الصدمات إلى أسعار مستقبلية باستخدام terminal_prices25 نقطة