Muestreo de distribuciones

De uniforme a cualquier cosa

Un generador da números repartidos uniformemente entre 0 y 1. Un modelo necesita otras formas: una moneda que gana el 30 % de las veces, un tiempo de espera entre operaciones, un rendimiento diario normal. El truco es siempre el mismo: aplicar una transformación a números uniformes. La más general es la transformada inversa: si F es la función de distribución de lo que quieres, entonces F⁻¹(u) para u uniforme tiene exactamente esa distribución. Arrays enteros pasan por la transformación de una vez.

import math
import numpy as np

# Exponential waiting times with rate 2 (a mean of 0.5): F(x) = 1 - exp(-rate * x), so x = -ln(1 - u) / rate
u = np.array([0.1, 0.5, 0.9])
print((-np.log(1 - u) / 2).round(4).tolist())       # [0.0527, 0.3466, 1.1513]   small u, short wait

rng = np.random.default_rng(42)
waits = -np.log(1 - rng.random(100000)) / 2
print(round(waits.mean(), 2))                        # 0.5   the mean is 1 / rate

Resultados discretos y la distribución normal

Para una tabla discreta de resultados, rng.choice(values, size=n, p=probs) hace la transformada inversa por ti: extrae cada valor con su probabilidad, como un día de -2 %, 0 % o +3 % con probabilidades del 20 %, 50 % y 30 %. Para la distribución normal, la inversa de su función de distribución no tiene fórmula simple; un truco clásico es la transformación de Box-Muller: a partir de dos números uniformes independientes u1 y u2, z = sqrt(-2 ln u1) * cos(2 pi u2) es una extracción normal estándar. En la práctica rng.standard_normal(n) lo hace más rápido, pero escribirlo una vez demuestra que no hay magia.

rng = np.random.default_rng(3)
days = rng.choice(np.array([-0.02, 0.0, 0.03]), size=100000, p=[0.2, 0.5, 0.3])
print(round(days.mean(), 3), round(0.2 * -0.02 + 0.3 * 0.03, 3))     # 0.005 0.005   the sample mean matches the table

rng = np.random.default_rng(42)
u1, u2 = 1 - rng.random(100000), rng.random(100000)                   # 1 - random() is in (0, 1]: never log(0)
z = np.sqrt(-2 * np.log(u1)) * np.cos(2 * math.pi * u2)
print(abs(z.mean()) < 0.02, round(z.std(), 2))                        # True 1.0   mean 0 and standard deviation 1

De extracciones normales a precios

Una extracción normal estándar z es un choque; el modelo decide cómo mueve un precio. El modelo habitual de una acción, el movimiento browniano geométrico, dice que el precio tras t años es S = S0 * exp((mu - 0,5 sigma²) t + sigma sqrt(t) z). Es lognormal: siempre positivo, con la larga cola derecha de los precios reales. El término -0,5 sigma² corrige la media para que el precio esperado crezca exactamente a mu: E[S] = S0 * exp(mu t). La mediana es menor que la media, por eso un resultado típico es peor que el resultado medio.

s0, mu, sigma, t = 100, 0.08, 0.2, 1
z = np.array([-1.0, 0.0, 1.0])                         # a one-sigma loss, no shock, a one-sigma gain
prices = s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * z)
print(prices.round(2).tolist())                         # [86.94, 106.18, 129.69]   all positive, the upside is larger

draws = np.random.default_rng(0).standard_normal(100000)
simulated = s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * draws)
print(round(simulated.mean(), 1), round(s0 * math.exp(mu * t), 1))     # 108.3 108.3   the mean grows at mu
print(round(float(np.median(simulated)), 1))                           # 106.1         the median is lower

# NumPy ships ready-made samplers too; the transformations above show what they do inside
z = np.random.default_rng(0).standard_normal(100000)
print(abs(z.mean()) < 0.02, round(z.std(), 2))      # True 1.0   standard_normal: mean 0, standard deviation 1

• Transformada inversa: aplicar la función de distribución inversa a números uniformes; exponencial: -ln(1 - u) / rate.
• rng.choice(values, size=n, p=probs) muestrea una tabla discreta; Box-Muller sqrt(-2 ln u1) * cos(2 pi u2) crea extracciones normales.
• Precio tras t años: S0 * exp((mu - 0,5 sigma²) t + sigma sqrt(t) z), lognormal; comprueba siempre una muestra grande con la media exacta.

A continuación: la estimación Monte Carlo, que usa extracciones aleatorias para calcular medias y probabilidades sin fórmula.

Lab: qué se califica

• Extraer de una tabla de resultados con sample_discrete25 pts
• Invertir la función de distribución con exponential_from_uniform25 pts
• Fabricar números en campana con box_muller25 pts
• Convertir choques en precios futuros con terminal_prices25 pts