Amostragem de distribuições

Do uniforme a qualquer coisa

Um gerador dá números distribuídos uniformemente entre 0 e 1. Um modelo precisa de outras formas: uma moeda que ganha 30% das vezes, um tempo de espera entre negócios, um retorno diário normal. O truque é o mesmo: aplicar uma transformação a números uniformes. A mais geral é a transformada inversa: se F é a função de distribuição do que você quer, então F⁻¹(u) para u uniforme tem exatamente essa distribuição. Arrays inteiros passam pela transformação de uma vez.

import math
import numpy as np

# Exponential waiting times with rate 2 (a mean of 0.5): F(x) = 1 - exp(-rate * x), so x = -ln(1 - u) / rate
u = np.array([0.1, 0.5, 0.9])
print((-np.log(1 - u) / 2).round(4).tolist())       # [0.0527, 0.3466, 1.1513]   small u, short wait

rng = np.random.default_rng(42)
waits = -np.log(1 - rng.random(100000)) / 2
print(round(waits.mean(), 2))                        # 0.5   the mean is 1 / rate

Resultados discretos e a distribuição normal

Para uma tabela discreta de resultados, rng.choice(values, size=n, p=probs) faz a transformada inversa por você: sorteia cada valor com sua probabilidade, como um dia de -2%, 0% ou +3% com probabilidades de 20%, 50% e 30%. Para a distribuição normal, a inversa de sua função de distribuição não tem fórmula simples; um truque clássico é a transformação de Box-Muller: a partir de dois números uniformes independentes u1 e u2, z = sqrt(-2 ln u1) * cos(2 pi u2) é um sorteio normal padrão. Na prática rng.standard_normal(n) faz isso mais rápido, mas escrevê-lo uma vez mostra que não há mágica.

rng = np.random.default_rng(3)
days = rng.choice(np.array([-0.02, 0.0, 0.03]), size=100000, p=[0.2, 0.5, 0.3])
print(round(days.mean(), 3), round(0.2 * -0.02 + 0.3 * 0.03, 3))     # 0.005 0.005   the sample mean matches the table

rng = np.random.default_rng(42)
u1, u2 = 1 - rng.random(100000), rng.random(100000)                   # 1 - random() is in (0, 1]: never log(0)
z = np.sqrt(-2 * np.log(u1)) * np.cos(2 * math.pi * u2)
print(abs(z.mean()) < 0.02, round(z.std(), 2))                        # True 1.0   mean 0 and standard deviation 1

De sorteios normais a preços

Um sorteio normal padrão z é um choque; o modelo decide como ele move um preço. O modelo usual de uma ação, o movimento browniano geométrico, diz que o preço após t anos é S = S0 * exp((mu - 0,5 sigma²) t + sigma sqrt(t) z). Ele é lognormal: sempre positivo, com a longa cauda à direita dos preços reais. O termo -0,5 sigma² corrige a média para que o preço esperado cresça exatamente a mu: E[S] = S0 * exp(mu t). A mediana é menor que a média, por isso um resultado típico é pior que o resultado médio.

s0, mu, sigma, t = 100, 0.08, 0.2, 1
z = np.array([-1.0, 0.0, 1.0])                         # a one-sigma loss, no shock, a one-sigma gain
prices = s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * z)
print(prices.round(2).tolist())                         # [86.94, 106.18, 129.69]   all positive, the upside is larger

draws = np.random.default_rng(0).standard_normal(100000)
simulated = s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * draws)
print(round(simulated.mean(), 1), round(s0 * math.exp(mu * t), 1))     # 108.3 108.3   the mean grows at mu
print(round(float(np.median(simulated)), 1))                           # 106.1         the median is lower

# NumPy ships ready-made samplers too; the transformations above show what they do inside
z = np.random.default_rng(0).standard_normal(100000)
print(abs(z.mean()) < 0.02, round(z.std(), 2))      # True 1.0   standard_normal: mean 0, standard deviation 1

• Transformada inversa: aplicar a função de distribuição inversa a números uniformes; exponencial: -ln(1 - u) / rate.
• rng.choice(values, size=n, p=probs) amostra uma tabela discreta; Box-Muller sqrt(-2 ln u1) * cos(2 pi u2) cria sorteios normais.
• Preço após t anos: S0 * exp((mu - 0,5 sigma²) t + sigma sqrt(t) z), lognormal; confira sempre uma amostra grande com a média exata.

A seguir: a estimação de Monte Carlo, que usa sorteios aleatórios para calcular médias e probabilidades sem fórmula.

Lab: o que é avaliado

• Sortear de uma tabela de resultados com sample_discrete25 pts
• Inverter a função de distribuição com exponential_from_uniform25 pts
• Fabricar números em sino com box_muller25 pts
• Transformar choques em preços futuros com terminal_prices25 pts