التقدير بطريقة مونت كارلو

الإجابة بمتوسطات سحوبات عشوائية

كثير من الأسئلة المالية بلا صيغة مرتبة: احتمال أن تخسر محفظة 20% خلال سنة، وسعر خيار يتوقف عائده على المسار كله. يجيب مونت كارلو عنها بالقوة الغاشمة. اكتب الكمية متوسطًا E[f(X)]، وحاكِ سحوبات كثيرة من X، وطبّق f على كل منها وخذ المتوسط. وبقانون الأعداد الكبيرة يتقارب متوسط العيّنة من التوقع الحقيقي. والاحتمال هو توقع مؤشر نعم/لا، فـ«نسبة المحاكاة التي وقع فيها الحدث» تقدّره.

import math
import numpy as np

# Estimate pi: the quarter circle x^2 + y^2 <= 1 covers pi/4 of the unit square
rng = np.random.default_rng(42)
x, y = rng.random(100000), rng.random(100000)
inside = x ** 2 + y ** 2 <= 1                        # True/False for every point
print(round(4 * inside.mean(), 4))                    # 3.1378   close to 3.1416, with 100,000 points

محاكاة الأسعار والاحتمالات

لمحاكاة سهم اسحب صدمات طبيعية معيارية ومرّرها في الصيغة اللوغاريتمية الطبيعية من الموضوع السابق: تخرج الأسعار النهائية n كلها من تعبير مصفوفي واحد. بعدها يصير أي سؤال عن توزيع الأسعار متوسطًا على المصفوفة. احتمال الانتهاء تحت 80 هو np.mean(prices < 80) والسعر المتوقع prices.mean() وكمّي الخسائر np.quantile(...). ومرّر المولّد rng إلى الدالة بدل إنشائه داخلها ليتحكم المستدعي في قابلية التكرار.

def simulate_terminal_prices(rng, s0, mu, sigma, t, n):
    z = rng.standard_normal(n)
    return s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * z)

prices = simulate_terminal_prices(np.random.default_rng(1), 100, 0.05, 0.2, 1, 200000)
print(round(float(np.mean(prices < 80)), 4))          # 0.1027   P(price below 80 after a year), about 10%
print(round(float(np.mean(prices > 130)), 4))         # 0.1216   P(price above 130)

تسعير خيار

يدفع الكول الأوروبي max(S - K, 0) عند الاستحقاق. وفي العالم المحايد للمخاطر ينمو كل أصل بمعدل الخالي من المخاطر rate، فالسعر العادل هو العائد المتوقع المخصوم: حاكِ الأسعار النهائية بـ mu = rate، واحسب عائد كل منها، وخذ المتوسط، واضربه في exp(-rate * t). ولهذا الخيار البسيط صيغة مغلقة (بلاك-شولز، 10.4506 للأرقام أدناه) وتقترب المحاكاة منها. وفائدة مونت كارلو أن الأسطر القليلة نفسها تظل صالحة لعوائد لا صيغة لها أصلًا.

def mc_call_price(rng, s0, strike, rate, sigma, t, n):
    prices = simulate_terminal_prices(rng, s0, rate, sigma, t, n)    # risk-neutral: the price grows at the risk-free rate
    payoff = np.maximum(prices - strike, 0)                           # max(S - K, 0) for every simulated path
    return math.exp(-rate * t) * payoff.mean()                        # discounted average payoff

price = mc_call_price(np.random.default_rng(1), 100, 100, 0.05, 0.2, 1, 200000)
print(round(price, 4))        # 10.3993   the exact Black-Scholes price is 10.4506: the difference is Monte Carlo error

# More points, less error (1 / sqrt(n)): the estimate of pi with the same seed
for n in (100, 10000, 1000000):
    g = np.random.default_rng(42)
    x, y = g.random(n), g.random(n)
    print(n, round(4 * float((x * x + y * y <= 1).mean()), 4))
# 100 3.36
# 10000 3.1488
# 1000000 3.1424

للتقديرات أخطاءنتيجة مونت كارلو عدد عشوائي: شغّلها ببذرة أخرى فتحصل على نتيجة مختلفة قليلًا (3.1378 لـ باي هنا والدقيق 3.1416). ولا تخبرك بمقدار خطئها. يقيس الموضوع التالي هذا الخطأ ويبيّن كيف يتقلص بزيادة عدد السحوبات، فلا تذكر قيمة محاكاة دون خطئها المعياري.

مونت كارلو: اكتب الكمية متوسطًا E[f(X)] وحاكِ سحوبات كثيرة وطبّق f وخذ المتوسط.
الاحتمال متوسط مقارنة: np.mean(prices < 80)؛ ومرّر المولّد وسيطًا لتكون العملية قابلة للتكرار.
سعر الخيار = exp(-rate * t) * mean(max(S - K, 0)) مع أسعار محاكاة عند mu = rate؛ واذكر الخطأ أيضًا.

التالي: خطأ مونت كارلو والتقارب، مدى دقة التقدير وكيفية الحصول على أكثر بأقل.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

ارمِ سهامًا على مربع لإيجاد باي باستخدام estimate_pi25 نقطة
عُدّ مرات وقوع حدث باستخدام estimate_probability25 نقطة
حاكِ أين قد ينتهي سهم باستخدام simulate_terminal_prices25 نقطة
سعّر خيارًا بالمحاكاة باستخدام mc_call_price25 نقطة

import math import numpy as np # Estimate pi: the quarter circle x^2 + y^2 <= 1 covers pi/4 of the unit square rng = np.random.default_rng(42) x, y = rng.random(100000), rng.random(100000) inside = x ** 2 + y ** 2 <= 1 # True/False for every point print(round(4 * inside.mean(), 4)) # 3.1378 close to 3.1416, with 100,000 points

def simulate_terminal_prices(rng, s0, mu, sigma, t, n): z = rng.standard_normal(n) return s0 * np.exp((mu - 0.5 * sigma ** 2) * t + sigma * math.sqrt(t) * z) prices = simulate_terminal_prices(np.random.default_rng(1), 100, 0.05, 0.2, 1, 200000) print(round(float(np.mean(prices < 80)), 4)) # 0.1027 P(price below 80 after a year), about 10% print(round(float(np.mean(prices > 130)), 4)) # 0.1216 P(price above 130)

def mc_call_price(rng, s0, strike, rate, sigma, t, n): prices = simulate_terminal_prices(rng, s0, rate, sigma, t, n) # risk-neutral: the price grows at the risk-free rate payoff = np.maximum(prices - strike, 0) # max(S - K, 0) for every simulated path return math.exp(-rate * t) * payoff.mean() # discounted average payoff price = mc_call_price(np.random.default_rng(1), 100, 100, 0.05, 0.2, 1, 200000) print(round(price, 4)) # 10.3993 the exact Black-Scholes price is 10.4506: the difference is Monte Carlo error

# More points, less error (1 / sqrt(n)): the estimate of pi with the same seed for n in (100, 10000, 1000000): g = np.random.default_rng(42) x, y = g.random(n), g.random(n) print(n, round(4 * float((x * x + y * y <= 1).mean()), 4)) # 100 3.36 # 10000 3.1488 # 1000000 3.1424

التقدير بطريقة مونت كارلو

الإجابة بمتوسطات سحوبات عشوائية

محاكاة الأسعار والاحتمالات

تسعير خيار

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

التقدير بطريقة مونت كارلو

الإجابة بمتوسطات سحوبات عشوائية

محاكاة الأسعار والاحتمالات

تسعير خيار

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.