收益率的均值与方差

概括一个分布的两个数

一列收益率很难与另一列比较。两个数字就能概括大部分信息：均值说明收益率集中在哪里，方差说明它们围绕这个中心散得多开。对 n 个收益率，均值是 sum(x) / n；偏差 x - mean 之和总是 0，所以衡量离散程度时要先平方。样本方差是偏差平方和除以 n - 1 而不是 n：均值是用同一批数据估计的，这使偏差略微偏小，除以 n - 1 可以修正。

import numpy as np

returns = np.array([0.004, -0.002, 0.001, 0.003, -0.004, 0.002, 0.006, -0.001])

mean = returns.mean()
deviations = returns - mean
print(round(mean, 5))                         # 0.00113
print(abs(deviations.sum()) < 1e-12)           # True   the deviations always add up to zero

variance = (deviations ** 2).sum() / (len(returns) - 1)
print(round(variance, 8), round(returns.var(ddof=1), 8))   # 1.098e-05 1.098e-05   the same as numpy's var(ddof=1)

标准差与波动率

平方改变了单位：收益率的方差单位是「百分比的平方」。它的平方根，即标准差，回到与收益率相同的单位，在金融中被称为波动率，是最常用的风险度量。大盘股的典型一天波动约 1% 到 2%，也就是日波动率 0.01 到 0.02。它要相对均值来读：日波动率为 1.2% 时，跌 3.6% 的那一天偏离三个标准差。

std = np.sqrt(variance)
print(round(std, 6), round(returns.std(ddof=1), 6))   # 0.003314 0.003314   daily volatility of these returns

# How many standard deviations is the worst day from the mean?
print(round((returns.min() - mean) / std, 2))          # -1.55

年化与夏普比率

日度数字很小、不直观，所以通常以年为单位报告。均值随时间线性增长（一年 252 个交易日：乘以 252），而波动率随时间的平方根增长：乘以 sqrt(252)，约 15.9。原因是随机的每日波动会部分抵消，所以不确定性累积得比均值慢。夏普比率用高于无风险利率的平均收益（超额收益）除以波动率：即每单位风险的回报，按同样方式年化。它让你能比较平稳的策略和剧烈的策略。

periods = 252
print(round(mean * periods, 4))                  # 0.2835   annual mean: 28.35% (a made-up, very lucky sample)
print(round(std * np.sqrt(periods), 4))          # 0.0526   annual volatility: 5.26%

risk_free = 0.0001                               # risk-free return of one day
excess = returns - risk_free
sharpe = excess.mean() / np.sqrt(((excess - excess.mean()) ** 2).sum() / (len(excess) - 1)) * np.sqrt(periods)
print(round(sharpe, 3))                          # 4.91   absurdly good, because 8 lucky days prove nothing

# How precisely do 8 days pin down the mean? The standard error is std / sqrt(n)
standard_error = std / np.sqrt(len(returns))
print(round(float(standard_error), 6))          # 0.001172   larger than the mean itself (0.00113)

• 均值：x.mean()；样本方差：((x - mean) ** 2).sum() / (n - 1)；波动率是其平方根。
• 均值用 * periods 年化，波动率用 * sqrt(periods) 年化：风险随时间的平方根增长。
• 夏普 = 平均超额收益 / 其标准差 * sqrt(periods)：每单位风险的回报；样本短则不可靠。

下一节：偏度与峰度，这两个统计量描述分布在中心与离散程度之外的形状。

实验：评分内容

• 用 sample_variance 衡量收益率的离散程度25 分
• 用 sample_std 把离散程度换算成与收益率相同的单位25 分
• 用 annualized_stats 把均值和波动率年化25 分
• 用 sharpe_ratio 评估单位风险的收益25 分