直方图与分布

按区间计数

均值和标准差把上千个收益率压缩成两个数字。直方图保留了形状：它把取值范围切成若干区间（bin），统计落入每个区间的观测个数。中间高、两端低是熟悉的钟形；不对称或两端偏重的形状则是警告。np.histogram(values, bins=edges) 对整个数组计数并返回各区间个数。第 i 个区间取 edges[i]（含）到 edges[i + 1]（不含）的值，只有最后一个区间还包含右端点。

import numpy as np

returns = np.array([-0.021, -0.012, -0.008, -0.004, -0.002, 0.000, 0.001, 0.003, 0.004, 0.006, 0.009, 0.015, 0.032])
edges = np.array([-0.03, -0.01, 0.0, 0.01, 0.03])      # four bins: -3%..-1%, -1%..0%, 0%..1%, 1%..3%

counts, _ = np.histogram(returns, bins=edges)
print(counts.tolist(), counts.sum(), len(returns))      # [2, 3, 6, 1] 12 13   the 3.2% return is outside every bin

# bins=4 asks numpy for 4 equal-width bins between the minimum and the maximum
counts, edges4 = np.histogram(returns, bins=4)
print(counts.tolist(), edges4.round(4).tolist())        # [3, 6, 3, 1] [-0.021, -0.0078, 0.0055, 0.0188, 0.032]

频数还是密度

频数取决于观测数量和区间宽度，因此样本量不同的两个直方图无法比较。密度解决了这个问题：把每个频数除以计入的总数和区间宽度，使所有柱的面积之和为 1。这样密度就可以与理论曲线（如正态钟形）或另一个样本比较。np.histogram(values, bins=edges, density=True) 能做到，counts / (counts.sum() * np.diff(edges)) 也一样。

counts, _ = np.histogram(returns, bins=edges)
density = counts / (counts.sum() * np.diff(edges))
print(density.round(2).tolist())              # [8.33, 25.0, 50.0, 4.17]
print((density * np.diff(edges)).sum())        # 1.0   the areas add up to 1

绘制它并读取尾部

ax.hist(values, bins=10) 一次调用就完成计数和绘制：每个区间一根柱（ax.patches），柱高就是频数。一定要给坐标轴加标签，因为收益率直方图下面没有「日收益率」就毫无意义。形状很重要，而真正伤人的是尾部：统计偏离均值超过 k 个标准差的观测占比 np.mean(np.abs(x - mean) > k * std)，就知道极端值出现得多频繁。对正态分布，约 4.6% 的值落在 2 个标准差之外，0.27% 落在 3 个标准差之外。市场比这糟糕得多，后面的主题会看到。

import matplotlib
matplotlib.use("Agg")
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(returns, bins=5)
ax.set_xlabel("Daily return")
ax.set_ylabel("Frequency")
print(len(ax.patches), [round(p.get_height()) for p in ax.patches])   # 5 [2, 4, 5, 1, 1]   one bar per bin; the heights are the counts

# How often are the returns more than 1 standard deviation from the mean?
mean, std = returns.mean(), returns.std(ddof=1)
print(round(float(np.mean(np.abs(returns - mean) > 1 * std)), 3))     # 0.308   about 4 of 13 days

# The number of bins changes the picture: compare a few
for bins in (2, 4, 8):
    print(bins, np.histogram(returns, bins=bins)[0].tolist())
# 2 [9, 4]
# 4 [3, 6, 3, 1]
# 8 [1, 2, 2, 4, 2, 1, 0, 1]

• np.histogram(values, bins=edges) 统计每个区间的值；最后一个区间包含右端点。
• 密度除以计入总数和区间宽度，面积之和为 1，样本因此可以比较。
• ax.hist(values, bins=n) 绘制它；np.mean(np.abs(x - mean) > k * std) 衡量尾部。给坐标轴加标签，并用相同边界比较。

下一节：收益率的均值与方差，从定义出发计算概括分布的两个数字。

实验：评分内容

• 用 bin_counts 统计每个区间的收益率个数25 分
• 用 density 把频数转换为密度25 分
• 用 fraction_beyond 衡量尾部占比25 分
• 用 plot_histogram 画出直方图25 分