Compter par intervalle
La moyenne et l'écart type compressent mille rendements en deux nombres. Un histogramme garde la forme : il découpe l'étendue des valeurs en classes et compte combien d'observations tombent dans chacune. De grandes barres au centre et de petites aux extrémités donnent la cloche familière ; une forme déséquilibrée ou aux extrémités lourdes est un avertissement. np.histogram(values, bins=edges) renvoie les effectifs et travaille sur un tableau entier. La classe i prend les valeurs de edges[i] inclus jusqu'à edges[i + 1] exclu ; seule la dernière classe inclut aussi son bord droit.
import numpy as np
returns = np.array([-0.021, -0.012, -0.008, -0.004, -0.002, 0.000, 0.001, 0.003, 0.004, 0.006, 0.009, 0.015, 0.032])
edges = np.array([-0.03, -0.01, 0.0, 0.01, 0.03]) # four bins: -3%..-1%, -1%..0%, 0%..1%, 1%..3%
counts, _ = np.histogram(returns, bins=edges)
print(counts.tolist(), counts.sum(), len(returns)) # [2, 3, 6, 1] 12 13 the 3.2% return is outside every bin
# bins=4 asks numpy for 4 equal-width bins between the minimum and the maximum
counts, edges4 = np.histogram(returns, bins=4)
print(counts.tolist(), edges4.round(4).tolist()) # [3, 6, 3, 1] [-0.021, -0.0078, 0.0055, 0.0188, 0.032]Fréquence ou densité
Les effectifs dépendent du nombre d'observations et de la largeur des classes : deux histogrammes de tailles d'échantillon différentes ne se comparent pas. Une densité corrige cela : divisez chaque effectif par le total compté et par la largeur de classe, de sorte que l'aire des barres vaille 1. On peut alors comparer une densité à une courbe théorique, comme la cloche normale, ou à un autre échantillon. np.histogram(values, bins=edges, density=True) le fait, tout comme counts / (counts.sum() * np.diff(edges)).
counts, _ = np.histogram(returns, bins=edges)
density = counts / (counts.sum() * np.diff(edges))
print(density.round(2).tolist()) # [8.33, 25.0, 50.0, 4.17]
print((density * np.diff(edges)).sum()) # 1.0 the areas add up to 1Le dessiner, et lire les queues
ax.hist(values, bins=10) compte et dessine en un appel : une barre par classe (ax.patches), dont les hauteurs sont les effectifs. Nommez toujours les axes, car un histogramme de rendements ne veut rien dire sans « Rendement quotidien » dessous. C'est la forme qui compte, et ce sont les queues qui font mal : compter la part des observations situées à plus de k écarts types de la moyenne, np.mean(np.abs(x - mean) > k * std), dit à quelle fréquence les extrêmes surviennent. Pour une loi normale, environ 4,6 % des valeurs sont au-delà de 2 écarts types et 0,27 % au-delà de 3. Les marchés font pire, comme le montreront les prochains sujets.
import matplotlib
matplotlib.use("Agg")
import matplotlib.pyplot as plt
fig, ax = plt.subplots()
ax.hist(returns, bins=5)
ax.set_xlabel("Daily return")
ax.set_ylabel("Frequency")
print(len(ax.patches), [round(p.get_height()) for p in ax.patches]) # 5 [2, 4, 5, 1, 1] one bar per bin; the heights are the counts
# How often are the returns more than 1 standard deviation from the mean?
mean, std = returns.mean(), returns.std(ddof=1)
print(round(float(np.mean(np.abs(returns - mean) > 1 * std)), 3)) # 0.308 about 4 of 13 days# The number of bins changes the picture: compare a few
for bins in (2, 4, 8):
print(bins, np.histogram(returns, bins=bins)[0].tolist())
# 2 [9, 4]
# 4 [3, 6, 3, 1]
# 8 [1, 2, 2, 4, 2, 1, 0, 1]np.histogram(values, bins=edges)compte les valeurs de chaque classe ; la dernière classe inclut son bord droit.- Une densité divise par le total compté et la largeur de classe : les aires valent 1 et les échantillons deviennent comparables.
ax.hist(values, bins=n)le dessine ;np.mean(np.abs(x - mean) > k * std)mesure les queues. Nommez les axes et comparez avec les mêmes bornes.
À suivre : moyenne et variance des rendements, les deux nombres qui résument une distribution, calculés à partir de leurs définitions.
Lab : ce qui est noté
- Compter les rendements de chaque classe avec
bin_counts25 pts - Transformer les effectifs en densité avec
density25 pts - Mesurer les queues avec
fraction_beyond25 pts - Dessiner l'histogramme avec
plot_histogram25 pts