当波动率也在变化时
Black-Scholes 假设波动率恒定，但真实的波动率在暴跌时升高、平静时消退，期权市场也体现了这一点：隐含波动率随行权价而异（微笑或偏斜）。Heston 模型保留几何的价格过程，但同时让*方差* v 也随机：它以速度 kappa 被拉向长期水平 theta，受到大小为 xi、随 sqrt(v) 缩放的噪声扰动，且价格与方差的冲击有相关性 rho。负的 rho（波动率上升时价格下跌，即杠杆效应）产生了股票期权中常见的向下偏斜。
# The Heston equations, in words: dS = mu S dt + sqrt(v) S dW dv = kappa (theta - v) dt + xi sqrt(v) dZ corr(dW, dZ) = rho
kappa, theta, xi = 2.0, 0.04, 0.3 # reversion speed, long-run variance (a 20% volatility), volatility of variance
print(round(theta ** 0.5, 2)) # 0.2 the long-run volatility
print(2 * kappa * theta, xi ** 2) # 0.16 0.09 the Feller condition 2 kappa theta >= xi^2 holds: the variance stays positive模拟：截断与相关性
模拟时按小区间 dt 逐步推进。方差更新为 v + kappa * (theta - v) * dt + xi * sqrt(v * dt) * dz，但朴素的欧拉步可能把 v 推到零以下，此时平方根就失败了。完全截断方案在右侧出现 v 的每处都使用 max(v, 0)（负值当作零），并为下一步保留原始结果。Feller 条件 2 * kappa * theta >= xi^2 是真实过程永远不会触及零的参数区域；若不满足，截断就更重要。两个冲击必须相关：抽取独立的正态数 z1、z2，令 dz = z1、dw = rho * z1 + sqrt(1 - rho^2) * z2。
# One variance step with full truncation, and the correlated shocks for the price
import math
def variance_step(v, kappa, theta, xi, dz, dt):
vp = max(v, 0.0)
return v + kappa * (theta - vp) * dt + xi * math.sqrt(vp * dt) * dz
def correlated_normals(z1, z2, rho):
return z1, rho * z1 + math.sqrt(1 - rho ** 2) * z2
print(round(variance_step(0.04, 2.0, 0.04, 0.3, 0.5, 1 / 252), 6)) # 0.04189 at the long-run level only the noise moves it
dz, dw = correlated_normals(1.0, 1.0, -0.7)
print(round(dz, 4), round(dw, 4)) # 1.0 0.0141 a negative rho: the price shock pulls against the variance shock
print(variance_step(-0.01, 2.0, 0.04, 0.3, 1.0, 1 / 252)) # -0.00968... still negative, but it moved up by kappa * theta * dt: the negative value acted as 0完整路径与合理性检查
一步同时更新两个状态变量：价格使用步*开始时*的方差，S * exp((mu - v/2) * dt + sqrt(v * dt) * dw)，然后方差再变动。按期限内的步数重复，就得到一条路径；许多路径给出终端价格的分布，对其贴现收益取平均就能给期权定价。一个很好的合理性检查：在漂移 mu 下，无论波动率参数如何，终端价格的平均值都应接近 S0 * exp(mu * T)。否则价格步里有 bug。把 kappa, theta, xi, rho 校准到期权价格，将在后面的章节出现。
# A short Monte Carlo: simulate many paths, and check the average terminal price against S0 * exp(mu * T)
import math
import random
def simulate(s0, v0, mu, kappa, theta, xi, rho, steps, years, rng):
dt = years / steps
s, v = s0, v0
for _ in range(steps):
z1, z2 = rng.gauss(0, 1), rng.gauss(0, 1)
dz, dw = z1, rho * z1 + math.sqrt(1 - rho ** 2) * z2
vp = max(v, 0.0)
s *= math.exp((mu - vp / 2) * dt + math.sqrt(vp * dt) * dw)
v = v + kappa * (theta - vp) * dt + xi * math.sqrt(vp * dt) * dz
return s
rng = random.Random(11)
finals = [simulate(100.0, 0.04, 0.05, 2.0, 0.04, 0.3, -0.7, 50, 1.0, rng) for _ in range(4000)]
mean = sum(finals) / len(finals)
print(abs(mean / (100.0 * math.exp(0.05)) - 1) < 0.02) # True the average terminal price follows S0 * exp(mu * T)
print(min(finals) > 0) # True prices stay positive# A check that costs nothing: with xi = 0 and v0 = theta the variance never moves (Black-Scholes with volatility sqrt(theta))
import math
kappa, theta, xi = 2.0, 0.04, 0.0
v = theta
for z in (1.5, -2.0, 0.3, 0.9):
vp = max(v, 0.0)
v = v + kappa * (theta - vp) * (1 / 252) + xi * math.sqrt(vp / 252) * z
print(v == theta) # True no noise and already at the long-run level
print(round(math.sqrt(v), 2)) # 0.2 a constant 20% volatilitydt 减小而缩小，粗糙的网格会使期权价格产生偏差。要用足够多的步数和足够多的路径（标准误差按路径数平方根的倒数下降）。用已知答案检查模拟：令 xi = 0，模型就退化为波动率为 sqrt(theta) 的 Black-Scholes。在生产中，通过特征函数的半解析 Heston 定价更快更精确；当收益依赖路径时，模拟才是灵活的工具。- Heston 让方差随机：它以速度
kappa回归到theta，噪声为xi * sqrt(v)，与价格的相关性为rho（股票为负）。 - 用完全截断（右侧用
max(v, 0)）模拟，用dw = rho z1 + sqrt(1 - rho^2) z2让冲击相关，并检查 Feller 条件2 kappa theta >= xi^2。 - 价格步使用步开始时的方差；检查终端价格均值是否遵循
S0 * exp(mu * T)，以及xi = 0是否还原 Black-Scholes。
下一节：局部波动率，依赖价格与时间的波动率曲面。
实验：评分内容
- 用
feller_condition保持方差为正25 分 - 用
variance_step推进方差25 分 - 用
correlated_normals让冲击相关25 分 - 用
heston_step推进价格与方差25 分