广播机制

不同形状的数组一起运算

到目前为止我们组合的都是形状相同的数组。广播（broadcasting）是一套规则，让 NumPy 无需复制数据就能组合形状不同的数组。最简单的情形是标量：a + 10 给每个元素加 10，好像 10 被拉伸成了 a 的形状。数组之间也能这样拉伸：一个含三个数的向量可以加到三列矩阵的每一行上，每列一个值。减去每列的均值、按波动率缩放每个资产、构建所有两两差值的表，都可以不写一个循环。

import numpy as np

a = np.array([[1.0, 2.0, 3.0],
              [4.0, 5.0, 6.0]])       # shape (2, 3)

print(a + 10)                          # a scalar is stretched to every element
# [[11. 12. 13.]
#  [14. 15. 16.]]

per_column = np.array([1, 10, 100])    # shape (3,): one value per column
print(a * per_column)
# [[  1.  20. 300.]
#  [  4.  50. 600.]]

print(a - a.mean(axis=0))              # subtract each column's mean
# [[-1.5 -1.5 -1.5]
#  [ 1.5  1.5  1.5]]

规则：从右向左比较形状

NumPy 把两个形状从右对齐。在每个位置上，两个大小要么相等，要么其中一个是 1（会被拉伸），要么其中一个数组在该位置没有维度（视为 1）。形状 (2, 3) 与 (3,) 可以：3 对 3，缺少的维度会沿 2 行拉伸。(2, 3) 与 (2,) 则失败，因为 3 对 2：NumPy 会引发 ValueError: operands could not be broadcast together。结果的形状在每个位置取较大的那个大小。

import numpy as np

a = np.ones((2, 3))
print((a + np.ones(3)).shape)        # (2, 3)   3 meets 3

try:
    a + np.ones(2)                   # 3 meets 2: no match
except ValueError as error:
    print(error)                     # operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,)

# Size 1 stretches: (3, 1) with (1, 4) gives (3, 4)
print((np.ones((3, 1)) + np.ones((1, 4))).shape)   # (3, 4)

列向量与成对数据表

形状为 (n,) 的一维数组总是与最后一个轴对齐，所以它的作用像一行。要对每一行应用一个值，就需要形状为 (n, 1) 的列：写 x[:, np.newaxis] 或 x.reshape(-1, 1)。把列和行组合起来就能构建整张表：x[:, None] - x[None, :] 是所有差值 x[i] - x[j] 的 n×n 矩阵，corr * vols[:, None] * vols[None, :] 可把相关矩阵变为协方差矩阵。还要小心相反的错误：形状 (3,) 与 (3, 1) 相加会悄悄得到 3×3 的表，而不是含三个数的向量。

import numpy as np

x = np.array([1.0, 2.0, 4.0])
print(x[:, np.newaxis].shape, x.reshape(-1, 1).shape, x[None, :].shape)   # (3, 1) (3, 1) (1, 3)

# All pairwise differences x[i] - x[j]
print(x[:, None] - x[None, :])
# [[ 0. -1. -3.]
#  [ 1.  0. -2.]
#  [ 3.  2.  0.]]

# One factor per row needs a column
a = np.array([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
print(a * np.array([1.0, 2.0])[:, None])
# [[ 1.  2.  3.]
#  [ 8. 10. 12.]]

# Correlation matrix to covariance matrix
corr = np.array([[1.0, 0.5], [0.5, 1.0]])
vols = np.array([0.2, 0.3])
print(corr * vols[:, None] * vols[None, :])
# [[0.04 0.03]
#  [0.03 0.09]]

print((np.ones(3) + np.ones((3, 1))).shape)   # (3, 3)  a silent table, not a vector

import numpy as np

# Standardise every column at once: (x - mean) / std, column by column
a = np.array([[1.0, 10.0],
              [2.0, 20.0],
              [3.0, 30.0]])
z = (a - a.mean(axis=0)) / a.std(axis=0)   # (3, 2) - (2,) -> (3, 2), then divided by (2,)
print(z.round(3).tolist())                 # [[-1.225, -1.225], [0.0, 0.0], [1.225, 1.225]]
print(z.mean(axis=0).round(9).tolist())    # [0.0, 0.0]

# keepdims keeps the reduced axis, so the result can be broadcast back by row too
row_share = a / a.sum(axis=1, keepdims=True)
print(row_share.sum(axis=1).tolist())      # [1.0, 1.0, 1.0]

• 形状从右对齐：大小必须相等或为 1（或缺失）；结果取较大者。
• (n,) 相当于一行；用 x[:, None] 或 x.reshape(-1, 1) 得到列。
• 列与行组合成表：x[:, None] - x[None, :]；检查 result.shape，不匹配会引发 ValueError。

下一节：pandas Series，每个值都带有标签的一维数组。

实验：评分内容

• 用 demean_columns 对每一列去均值25 分
• 用 scale_rows 给每一行各自的系数25 分
• 用 pairwise_differences 构建所有差值的表25 分
• 用 covariance_from_correlation 把相关性转为协方差25 分