البث (Broadcasting)

مصفوفات مختلفة الشكل تعمل معًا

حتى الآن جمعنا مصفوفات بالشكل نفسه. البث (broadcasting) هو مجموعة القواعد التي تتيح لـNumPy الجمع بين مصفوفات مختلفة الشكل دون نسخ البيانات. وأبسط حالة هي العدد المفرد: a + 10 تضيف 10 إلى كل عنصر كأن 10 مُدّت لتأخذ شكل a. ويعمل المد نفسه بين المصفوفات: يمكن إضافة متجه من ثلاثة أرقام إلى كل صف في مصفوفة من ثلاثة أعمدة، قيمة لكل عمود. وبهذا تطرح متوسط كل عمود وتحجّم كل أصل بتقلبه وتبني جدول كل الفروق الثنائية دون حلقة واحدة.

import numpy as np

a = np.array([[1.0, 2.0, 3.0],
              [4.0, 5.0, 6.0]])       # shape (2, 3)

print(a + 10)                          # a scalar is stretched to every element
# [[11. 12. 13.]
#  [14. 15. 16.]]

per_column = np.array([1, 10, 100])    # shape (3,): one value per column
print(a * per_column)
# [[  1.  20. 300.]
#  [  4.  50. 600.]]

print(a - a.mean(axis=0))              # subtract each column's mean
# [[-1.5 -1.5 -1.5]
#  [ 1.5  1.5  1.5]]

القاعدة: قارن الأشكال من اليمين

تُحاذي NumPy الشكلين من اليمين. وفي كل موضع يجب أن يكون الحجمان متساويين أو أن يكون أحدهما 1 (فيُمدّ) أو ألا يملك أحد المصفوفتين بُعدًا هناك (يُعامل كـ1). الشكلان (2, 3) و(3,) ينجحان: 3 تقابل 3، ويُمدّ البُعد الناقص على الصفين. أما (2, 3) و(2,) فيفشلان لأن 3 تقابل 2: ترفع NumPy الخطأ ValueError: operands could not be broadcast together. ويأخذ شكل النتيجة الحجم الأكبر في كل موضع.

import numpy as np

a = np.ones((2, 3))
print((a + np.ones(3)).shape)        # (2, 3)   3 meets 3

try:
    a + np.ones(2)                   # 3 meets 2: no match
except ValueError as error:
    print(error)                     # operands could not be broadcast together with shapes (2,3) (2,)

# Size 1 stretches: (3, 1) with (1, 4) gives (3, 4)
print((np.ones((3, 1)) + np.ones((1, 4))).shape)   # (3, 4)

متجهات الأعمدة وجداول الأزواج

تتحاذى المصفوفة أحادية البُعد ذات الشكل (n,) دائمًا مع المحور الأخير، فتعمل كصف. ولتطبيق قيمة لكل صف تحتاج عمودًا شكله (n, 1): اكتب x[:, np.newaxis] أو x.reshape(-1, 1). والجمع بين عمود وصف يبني جدولًا كاملًا: x[:, None] - x[None, :] هي المصفوفة n×n لكل الفروق x[i] - x[j]، وcorr * vols[:, None] * vols[None, :] تحوّل مصفوفة ارتباط إلى مصفوفة تغاير. واحذر الخطأ المعاكس: جمع الشكلين (3,) و(3, 1) يعطي بصمت جدولًا 3×3 لا متجهًا من ثلاثة أرقام.

import numpy as np

x = np.array([1.0, 2.0, 4.0])
print(x[:, np.newaxis].shape, x.reshape(-1, 1).shape, x[None, :].shape)   # (3, 1) (3, 1) (1, 3)

# All pairwise differences x[i] - x[j]
print(x[:, None] - x[None, :])
# [[ 0. -1. -3.]
#  [ 1.  0. -2.]
#  [ 3.  2.  0.]]

# One factor per row needs a column
a = np.array([[1.0, 2.0, 3.0], [4.0, 5.0, 6.0]])
print(a * np.array([1.0, 2.0])[:, None])
# [[ 1.  2.  3.]
#  [ 8. 10. 12.]]

# Correlation matrix to covariance matrix
corr = np.array([[1.0, 0.5], [0.5, 1.0]])
vols = np.array([0.2, 0.3])
print(corr * vols[:, None] * vols[None, :])
# [[0.04 0.03]
#  [0.03 0.09]]

print((np.ones(3) + np.ones((3, 1))).shape)   # (3, 3)  a silent table, not a vector

import numpy as np

# Standardise every column at once: (x - mean) / std, column by column
a = np.array([[1.0, 10.0],
              [2.0, 20.0],
              [3.0, 30.0]])
z = (a - a.mean(axis=0)) / a.std(axis=0)   # (3, 2) - (2,) -> (3, 2), then divided by (2,)
print(z.round(3).tolist())                 # [[-1.225, -1.225], [0.0, 0.0], [1.225, 1.225]]
print(z.mean(axis=0).round(9).tolist())    # [0.0, 0.0]

# keepdims keeps the reduced axis, so the result can be broadcast back by row too
row_share = a / a.sum(axis=1, keepdims=True)
print(row_share.sum(axis=1).tolist())      # [1.0, 1.0, 1.0]

• تُحاذى الأشكال من اليمين: يجب أن تتساوى الأحجام أو تكون 1 (أو ناقصة)؛ وتأخذ النتيجة الأكبر.
• (n,) يعمل كصف؛ واصنع عمودًا بـx[:, None] أو x.reshape(-1, 1).
• عمود مع صف = جدول: x[:, None] - x[None, :]؛ افحص result.shape وعدم التطابق يفشل بـValueError.

التالي: سلاسل pandas (Series)، مصفوفات أحادية البُعد تحمل وسمًا مع كل قيمة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

• اجعل كل عمود متمركزًا حول الصفر باستخدام demean_columns25 نقطة
• أعطِ كل صف معاملَه الخاص باستخدام scale_rows25 نقطة
• ابنِ جدول كل الفروق باستخدام pairwise_differences25 نقطة
• حوّل الارتباطات إلى تغايرات باستخدام covariance_from_correlation25 نقطة