从各个部件到可运行的优化器
纸面上的最小方差组合没有任何规则。真实的投资要求只做多、满仓，而且交易要付费。想看清这些规则的作用，唯一的办法是自己构建优化器，并在它没见过的日子里检验。本综合项目用到技能中的三个想法：用梯度下降写循环，用投影实现只做多的预算规则，用 L1 上限限制交易。只需要 NumPy，不允许使用库中的求解器。
wₖ₊₁=Π(wₖ-η·2Σwₖ), η=1/(2λₘₐₓ(Σ))
投影梯度下降先对方差 wᵀΣw 做一次普通的梯度步（梯度为 2Σw），再用投影 Π 把结果拉回到最近的只做多满仓组合。步长 1/L（L=2λₘₐₓ(Σ) 为 Hessian 最大特征值）总是稳定的。对 {w≥0, Σw=1} 的投影有精确解：把向量降序排序，取累积和减一，找出排序值仍大于其累积和除以 k 的最后位置 ρ，令 θ 等于该累积和除以 ρ+1，返回 max(v-θ,0)。所有权重平移同一个量，会变成负数的则在零处截断。
w=w₀+α(wₜ-w₀), α=min(1, τ/(‖wₜ-w₀‖₁)), c ‖w-w₀‖₁
换手率是交易量的 L1 范数 ‖w-w₀‖₁。要在保持可行的同时把它压在上限 τ 之下，只需从当前组合 w₀ 向优化器目标 wₜ 走全程中的比例 α。两个只做多满仓组合连线上的点仍是只做多满仓的，而 L1 范数沿连线线性增长，所以交易量恰为 min(差距,τ)。每次调仓的成本是 c 乘以其换手率，回测把它从持有区块的第一天扣除。某个区块的权重只能使用它之前的交易日，要报告的是拼接起来的、扣费后的样本外交易日的波动率与收益。
真实数据怎么说对 2010 年以来的 12 只美国大盘股，用 126 天窗口、每 42 天重估一次、成本 10 基点、4058 个样本外交易日，只做多的最小方差组合年化波动率约 13.4%，收益约 13.8%，每次调仓的换手率约 0.36。把换手率限制在 0.2，则波动率约 13.6%，收益约 14.0%，换手率 0.20：风险略增，但交易更少，净收益没有损失。等权组合波动率约 18.4%，收益约 21.4%，且不交易。它赚得更多只是因为这 12 只幸存股，尤其是苹果、亚马逊和英伟达，表现太好。
- 投影梯度下降：用步长 1/L 走梯度步 2Σw，再投影到单纯形。
- 换手率上限：朝目标走比例 α=min(1,τ/差距)，组合保持可行。
- 诚实的回测：用最近
window天估计，持有step天，扣除成本，报告拼接起来的样本外数字。
需要记住的两个简化回测忽略了区块内权重的漂移（权重保持不变），并且对每单位换手收取固定成本，而真实冲击会随成交规模和流动性不足而增大。这两点都让数字略显乐观。请把这个练习当作风险、换手与成本之间权衡的干净模型，而不是对实盘表现的预测。
实验：评分内容
- 向单纯形投影20 分
- 投影梯度下降25 分
- 换手率上限15 分
- 带成本的滚动回测25 分
- 比较方案15 分