Réduction de dimension avec l'ACP et l'ACP à noyau

Position dans le parcoursModule 4 sur 4 · Sujet 2 sur 4

4.2 Réduction de dimension avec l'ACP et l'ACP à noyau

—Score du lab— / 100XP total—Série—

Moins de nombres qui gardent l'histoire

Les actions bougent ensemble : 54 séries de rendements mensuels contiennent bien moins que 54 informations indépendantes. L'analyse en composantes principales, ACP, trouve de nouveaux axes, les composantes principales, ordonnés selon la part de variance qu'ils portent. Le premier axe suit la direction de plus grande dispersion, le deuxième lui est perpendiculaire et porte le plus ensuite, et ainsi de suite. Pour la matrice de covariance, les axes sont ses vecteurs propres et les variances le long d'eux ses valeurs propres. La part de variance de la composante $k$ est $\lambda_k/\sum_j\lambda_j$ . Garder les premières composantes donne une description courte des données avec une petite perte.

\Sigma v_k=\lambda_k v_k,\qquad r_k=\frac{\lambda_k}{\sum_j\lambda_j},\qquad k(x,y)=e^{-\gamma\|x-y\|^{2}}

(1)

L'ACP travaille sur des données centrées et sur des variables d'échelles comparables : standardisez d'abord. Ses axes sont linéaires, ce qui convient au marché car la plupart des actions partagent un mouvement commun. L'ACP à noyau fait l'ACP dans un espace construit par un noyau comme le noyau RBF $e^{-\gamma d^{2}}$ , qui note la proximité de deux points : elle peut suivre des structures courbes. Deux avertissements. Une composante mélange toutes les entrées, la nommer relève de la devinette. Et les premières composantes sont les plus grandes sources de variance, pas les plus prédictives. En finance, la première composante est le marché, les suivantes des secteurs, et un modèle ajusté sur des composantes doit encore être vérifié sur des données postérieures.

Un exemple 2 sur 2 et 54 actionsPrenons la matrice de covariance

\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

. Ses valeurs propres sont

3

1

: la première composante porte

3/(3+1)=75\%

de la variance et la seconde

25\%

. Le premier axe est

(1,1)/\sqrt2

. Le point

(1,1)

s'y projette en

(1+1)/\sqrt2=1{,}414

, alors que

(1,-1)

se projette en

0

et est perdu par un modèle à une composante, avec une erreur au carré de

2

. Pour le noyau RBF avec

\gamma=0{,}5

et une distance au carré de

2

, la similarité vaut

e^{-1}=0{,}368

. Sur les

319

rendements mensuels des

54

vraies actions, la première composante porte

29{,}5\%

de la variance, la deuxième

8{,}4\%

et la troisième

5{,}5\%

. Il faut

22

composantes pour atteindre

80\%

32

pour

90\%

: une description courte économise

32

des

54

nombres au niveau de

80\%

Des axes classés par variance : la première composante est la direction de plus grande dispersion, chaque suivante est perpendiculaire.
Standardisez d'abord : l'ACP suit la variance, une variable aux grands nombres dominerait.
La variance n'est pas la prévision : les plus grandes composantes ne sont pas forcément les utiles.

Lab : ce qui est noté

La part de la première composante15 pts
Une projection10 pts
Une erreur de reconstruction10 pts
Une valeur de noyau RBF10 pts
Nombres économisés5 pts
Pourquoi standardiser avant l'ACP10 pts
Les étapes de l'ACP10 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Une grande composante n'est pas une utile15 pts

0/ 9 traités

1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Une matrice de covariance a pour valeurs propres $3$ et $1$ . Quelle part de la variance la première composante porte-t-elle ? Donnez deux décimales sous forme de fraction.

r =

accepté : ± 0.005

2Réponse numérique10 ptsSans réponse

Le premier axe est $(1,1)/\sqrt2$ . Quelle est la coordonnée du point $(1,1)$ sur cet axe, $(1+1)/\sqrt2$ ? Donnez trois décimales.

p =

accepté : ± 0.003

3Réponse numérique10 ptsSans réponse

Le point $(1,-1)$ se projette en $0$ sur le premier axe : un modèle à une composante le reconstruit en $(0,0)$ . Quelle est l'erreur de reconstruction au carré ?

e =

accepté : ± 0.01

4Réponse numérique10 ptsSans réponse

Le noyau RBF vaut $e^{-\gamma d^{2}}$ . Avec $\gamma=0{,}5$ et une distance au carré $d^{2}=2$ , que vaut la similarité ? Donnez trois décimales.

k =

accepté : ± 0.002

5Réponse numérique5 ptsSans réponse

Pour les $54$ vraies actions, $22$ composantes portent $80\%$ de la variance. Combien des $54$ nombres économise-t-on en ne gardant que ces $22$ ?

s =

accepté : ± 0.01

6Choix10 ptsSans réponse

Une variable en dollars de volume (millions) et une variable en rendement mensuel (pourcentages) sont données à l'ACP sans mise à l'échelle. Que se passe-t-il ?

7Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes de l'ACP.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Projeter les données sur les premiers axes
2Centrer et standardiser les variables
3Trier les axes par valeur propre et garder les plus grands
4Trouver les vecteurs propres et valeurs propres de la matrice de covariance

8Associer15 ptsSans réponse

Associez chaque terme à son sens.

Choisissez le partenaire de chaque élément de gauche.

Composante principale

Valeur propre

Noyau

Chargement

9Expliquer avec des mots15 ptsSans réponse

La première composante des $54$ actions est le marché et porte $29{,}5\%$ de la variance. En une ou deux phrases, expliquez pourquoi il ne s'ensuit pas que ce soit la composante la plus utile pour prévoir les rendements.

Noté sur :L'ACP classe les composantes par variance, ce qui ne dit rien sur leur capacité à prévoir les rendements futursLe mouvement du marché est commun à toutes les actions : il ne peut pas classer l'une au-dessus de l'autre, et le signal utile peut se trouver dans une petite composante0 / 400 caractères

Mode mathsSaisie au clavier ou en LaTeXExercice 1 sur 9 · Ctrl ⏎ pour vérifier

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Moins de nombres qui gardent l'histoire

\Sigma v_k=\lambda_k v_k,\qquad r_k=\frac{\lambda_k}{\sum_j\lambda_j},\qquad k(x,y)=e^{-\gamma\|x-y\|^{2}}

(1)

Un exemple 2 sur 2 et 54 actionsPrenons la matrice de covariance

\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}

. Ses valeurs propres sont

3

1

: la première composante porte

3/(3+1)=75\%

de la variance et la seconde

25\%

. Le premier axe est

(1,1)/\sqrt2

. Le point

(1,1)

s'y projette en

(1+1)/\sqrt2=1{,}414

, alors que

(1,-1)

se projette en

0

et est perdu par un modèle à une composante, avec une erreur au carré de

2

. Pour le noyau RBF avec

\gamma=0{,}5

et une distance au carré de

2

, la similarité vaut

e^{-1}=0{,}368

. Sur les

319

rendements mensuels des

54

vraies actions, la première composante porte

29{,}5\%

de la variance, la deuxième

8{,}4\%

et la troisième

5{,}5\%

. Il faut

22

composantes pour atteindre

80\%

32

pour

90\%

: une description courte économise

32

des

54

nombres au niveau de

80\%

Des axes classés par variance : la première composante est la direction de plus grande dispersion, chaque suivante est perpendiculaire.
Standardisez d'abord : l'ACP suit la variance, une variable aux grands nombres dominerait.
La variance n'est pas la prévision : les plus grandes composantes ne sont pas forcément les utiles.

Lab : ce qui est noté

La part de la première composante15 pts
Une projection10 pts
Une erreur de reconstruction10 pts
Une valeur de noyau RBF10 pts
Nombres économisés5 pts
Pourquoi standardiser avant l'ACP10 pts
Les étapes de l'ACP10 pts
Associer le vocabulaire15 pts
Une grande composante n'est pas une utile15 pts

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1Réponse numérique15 ptsSans réponse

Une matrice de covariance a pour valeurs propres $3$ et $1$ . Quelle part de la variance la première composante porte-t-elle ? Donnez deux décimales sous forme de fraction.

r =

accepté : ± 0.005

2Réponse numérique10 ptsSans réponse

Le premier axe est $(1,1)/\sqrt2$ . Quelle est la coordonnée du point $(1,1)$ sur cet axe, $(1+1)/\sqrt2$ ? Donnez trois décimales.

p =

accepté : ± 0.003

3Réponse numérique10 ptsSans réponse

Le point $(1,-1)$ se projette en $0$ sur le premier axe : un modèle à une composante le reconstruit en $(0,0)$ . Quelle est l'erreur de reconstruction au carré ?

e =

accepté : ± 0.01

4Réponse numérique10 ptsSans réponse

Le noyau RBF vaut $e^{-\gamma d^{2}}$ . Avec $\gamma=0{,}5$ et une distance au carré $d^{2}=2$ , que vaut la similarité ? Donnez trois décimales.

k =

accepté : ± 0.002

5Réponse numérique5 ptsSans réponse

Pour les $54$ vraies actions, $22$ composantes portent $80\%$ de la variance. Combien des $54$ nombres économise-t-on en ne gardant que ces $22$ ?

s =

accepté : ± 0.01

6Choix10 ptsSans réponse

Une variable en dollars de volume (millions) et une variable en rendement mensuel (pourcentages) sont données à l'ACP sans mise à l'échelle. Que se passe-t-il ?

7Remettre les étapes dans l'ordre10 ptsSans réponse

Mettez dans l'ordre les étapes de l'ACP.

Faites glisser pour réordonner, ou placez le focus sur un élément, Espace pour le soulever, les flèches pour le déplacer et Espace pour le déposer.

1Projeter les données sur les premiers axes
2Centrer et standardiser les variables
3Trier les axes par valeur propre et garder les plus grands
4Trouver les vecteurs propres et valeurs propres de la matrice de covariance

8Associer15 ptsSans réponse

Associez chaque terme à son sens.

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Composante principale

Valeur propre

Noyau

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