用四个数字描述微笑
利率和外汇期权在众多行权价上交易，交易台需要一种平滑且考虑套利的方式，对报出的波动率做插值和外推。SABR（Hagan、Kumar、Lesniewski、Woodward，2002）是市场标准。它为远期 F 建模，并带有它自己的随机波动率 alpha：dF = alpha F^beta dW 和 d alpha = nu alpha dZ，两个冲击之间的相关性为 rho。四个参数塑造一个到期日的微笑：alpha 设定整体水平，beta 决定波动率如何依赖价格水平（0 为正态，1 为对数正态），rho 决定倾斜（偏斜），nu 决定曲率（两翼上翘的程度）。
# The four parameters of one expiry, for a rate forward of 3%
f, t = 0.03, 1.0 # forward rate and expiry in years
alpha, beta, rho, nu = 0.035, 0.5, -0.3, 0.4
print(round(alpha / f ** (1 - beta), 4)) # 0.2021 alpha / f^(1-beta) is roughly the at-the-money volatility (before the correction)Hagan 公式
Hagan 的渐近展开无需模拟就能给出 Black 隐含波动率。在平值（K = F）处，它是 alpha / F^(1-beta) 乘以时间修正 1 + (...) * T，括号里合并了三种效应：骨架的 beta 曲率、rho * nu 偏斜项和 nu^2 微笑项。偏离平值时，同样的修正还要乘上另外两个因子：含对数货币性 L = ln(F/K) 的分母，以及比值 z / chi(z)，其中 z = (nu/alpha) (FK)^((1-beta)/2) L，chi(z) = ln((sqrt(1 - 2 rho z + z^2) + z - rho) / (1 - rho))。当 z 趋于 0 时比值趋于 1，因此公式与平值处的值平滑衔接，但直接计算 0 / 0 会失败：要把极小的 z 当作极限处理。
# The pieces of Hagan's formula: the time correction, the at-the-money volatility and z / chi(z)
import math
def sabr_correction(f, k, t, alpha, beta, rho, nu):
fk = f * k
return 1 + ((1 - beta) ** 2 / 24 * alpha ** 2 / fk ** (1 - beta) + rho * beta * nu * alpha / (4 * fk ** ((1 - beta) / 2)) + (2 - 3 * rho ** 2) * nu ** 2 / 24) * t
def sabr_atm_vol(f, t, alpha, beta, rho, nu):
return alpha / f ** (1 - beta) * sabr_correction(f, f, t, alpha, beta, rho, nu)
def z_over_chi(z, rho):
if abs(z) < 1e-7:
return 1.0
return z / math.log((math.sqrt(1 - 2 * rho * z + z ** 2) + z - rho) / (1 - rho))
print(round(sabr_atm_vol(0.03, 1.0, 0.035, 0.5, -0.3, 0.4), 6)) # 0.203877 the at-the-money volatility
print(round(z_over_chi(0.5, -0.3), 6), z_over_chi(0.0, -0.3)) # 1.103683 1.0 near 1, and exactly 1.0 at z = 0解读微笑并拟合它
把隐含波动率对行权价作图，参数各有清晰的特征。负的 rho 抬高低行权价、压低高行权价（向下偏斜，典型于股票和许多利率）；rho = 0 给出对称的微笑。更大的 nu 抬高两翼。beta 移动骨架：远期变动时平值波动率改变多少。从业者按惯例或历史固定 beta，再把其余参数校准到各到期日报出的波动率上（下一节），常常用平值报价反解 alpha 以便精确吻合。两点提醒：这个公式是近似，对长期限和很低的行权价会变差，那里它可能隐含出负的概率密度。
# The smile for three values of rho: a negative rho lifts the low strikes (downward skew)
import math
def sabr_vol(f, k, t, alpha, beta, rho, nu):
fk = f * k
log = math.log(f / k)
mid = fk ** ((1 - beta) / 2)
z = nu / alpha * mid * log
ratio = 1.0 if abs(z) < 1e-7 else z / math.log((math.sqrt(1 - 2 * rho * z + z ** 2) + z - rho) / (1 - rho))
denominator = mid * (1 + (1 - beta) ** 2 / 24 * log ** 2 + (1 - beta) ** 4 / 1920 * log ** 4)
bracket = 1 + ((1 - beta) ** 2 / 24 * alpha ** 2 / fk ** (1 - beta) + rho * beta * nu * alpha / (4 * mid) + (2 - 3 * rho ** 2) * nu ** 2 / 24) * t
return alpha / denominator * ratio * bracket
for rho in (-0.5, 0.0, 0.5):
print(rho, [round(sabr_vol(0.03, k, 1.0, 0.035, 0.5, rho, 0.4), 4) for k in (0.02, 0.03, 0.04)])
# one line per rho: the first value (low strike) is the highest when rho is negative and the lowest when rho is positive# A free sanity check: with beta = 1 and nu = 0 SABR is Black-Scholes, so the at-the-money volatility is alpha at every expiry
def atm(f, t, alpha, beta, rho, nu):
fk = f * f
bracket = 1 + ((1 - beta) ** 2 / 24 * alpha ** 2 / fk ** (1 - beta) + rho * beta * nu * alpha / (4 * fk ** ((1 - beta) / 2)) + (2 - 3 * rho ** 2) * nu ** 2 / 24) * t
return alpha / f ** (1 - beta) * bracket
print(atm(100.0, 0.5, 0.2, 1.0, -0.3, 0.0), atm(100.0, 5.0, 0.2, 1.0, -0.3, 0.0)) # 0.2 0.2rho 严格在 -1 和 1 之间，nu 不要过大），并对每个到期日分别拟合、让它们随时间平滑变化。对于低利率或负利率，应使用公式的正态（Bachelier）版本，它在零附近不会失效。- SABR 用四个参数给出每个到期日的微笑：alpha（水平）、beta（骨架）、rho（偏斜）、nu（曲率）。
- Hagan 公式 = 前置因子 x
z / chi(z)x 时间修正；平值时化为alpha / F^(1-beta)乘以修正，z趋于 0 时z / chi(z)趋于 1。 - 负的 rho 使微笑向下倾斜，更大的 nu 抬高两翼；对每个到期日分别拟合，检查两翼的套利，并在接近零利率时使用正态版本。
下一节：模型校准，把模型参数拟合到市场价格。
实验：评分内容
- 用
sabr_correction加上时间修正25 分 - 用
sabr_atm_vol读取平值点25 分 - 在
z_over_chi中处理 0 / 025 分 - 用
sabr_implied_vol绘出微笑25 分