对数收益率

价格比值的对数

对数收益率是两个价格之比的自然对数。不再计算 P_t / P_{t-1} - 1，而是计算 ln(P_t / P_{t-1})。对于小幅波动两者几乎相等（上涨 2% 的对数值是 0.0198），但对数形式具有一些性质，使它成为统计与建模的标准选择。在 pandas 中，先用 np.log 对整个价格 Series 取对数，再 diff：对数相减就是价格相除。

import numpy as np
import pandas as pd

prices = pd.Series([100.0, 102.0, 100.98, 103.0], index=["Mon", "Tue", "Wed", "Thu"])

log_ret = np.log(prices).diff()
print(log_ret.round(4))
# Mon       NaN
# Tue    0.0198
# Wed   -0.0101
# Thu    0.0198
# dtype: float64

print(prices.pct_change().round(4).tolist())   # [nan, 0.02, -0.01, 0.02]   the simple returns, for comparison

对数收益率在时间上可以相加

这是使用它的主要原因。因为 ln(a) - ln(c) = (ln(a) - ln(b)) + (ln(b) - ln(c))，多期的对数收益率就是各期对数收益率的总和，无需复合。两天的收益率是两个单日收益率之和，月收益率是各日之和，再用 exp(total) - 1 就能还原成简单收益率。对数收益率还是对称的：价格翻倍后再减半，对数收益率为 +0.6931 与 -0.6931，正好抵消，而简单收益率是 +100% 和 -50%。

# The sum of the daily log returns is the log return over the whole period
print(round(log_ret.sum(), 6))                         # 0.029559
print(round(np.log(prices.iloc[-1] / prices.iloc[0]), 6))   # 0.029559   end price over start price

# exp(total) - 1 is the simple return of the whole period
print(round(np.exp(log_ret.sum()) - 1, 6))             # 0.03

# Symmetry: the price doubles, then halves
doubling = pd.Series([100.0, 200.0, 100.0])
print(doubling.pct_change().tolist())               # [nan, 1.0, -0.5]
print(np.log(doubling).diff().round(4).tolist())    # [nan, 0.6931, -0.6931]

转换与多日涨跌

要还原为简单收益率，用 np.exp(r) - 1（对很小的数值 np.expm1(r) 更精确）。小幅波动时两者很接近，大幅波动时会拉开差距：简单收益率 +50% 的对数值是 0.4055。np.log 与 np.exp 直接作用于整个 Series，所以不需要循环。要衡量多日涨跌，diff 可以接收期数：np.log(prices).diff(5) 就是五日对数收益率，等于五个单日对数收益率之和。

# Small moves agree with the simple return, big moves do not
for simple in [0.01, 0.1, 0.5, -0.5]:
    print(simple, round(np.log1p(simple), 4))   # log1p(r) is ln(1 + r)
# 0.01 0.01
# 0.1 0.0953
# 0.5 0.4055
# -0.5 -0.6931

# Back to simple returns, on the whole Series at once
print((np.exp(log_ret) - 1).round(4).tolist())   # [nan, 0.02, -0.01, 0.02]

# The log return over 2 days: diff takes a number of periods
print(np.log(prices).diff(2).round(4).tolist())   # [nan, nan, 0.0098, 0.0098]

• 对数收益率是 ln(价格 / 前一期价格)：np.log(prices).diff()；第一个元素是 NaN。
• 在时间上直接相加：log_ret.sum()，np.exp(total) - 1 得到简单收益率。
• diff(k) 给出 k 期的涨跌；跨资产加权时用简单收益率，而不是对数收益率。

下一节：DatetimeIndex 与基于时间的索引，为价格序列加上真实日期，按月份或星期切片。

实验：评分内容

• 用 log_returns 把价格转换为对数收益率25 分
• 用 simple_from_log 把对数收益率转换回简单收益率25 分
• 用 total_log_return 把各期对数收益率相加25 分
• 用 multi_day_log_return 衡量多日的涨跌25 分