العوائد اللوغاريتمية

لوغاريتم نسبة السعرين

العائد اللوغاريتمي هو اللوغاريتم الطبيعي لنسبة سعرين. وبدل P_t / P_{t-1} - 1 تحسب ln(P_t / P_{t-1}). وفي الحركات الصغيرة يتقارب الاثنان (ارتفاع 2% يساوي 0.0198 باللوغاريتم)، لكن للنسخة اللوغاريتمية خصائص تجعلها الخيار المعياري في الإحصاء والنمذجة. في pandas خذ لوغاريتم سلسلة الأسعار كلها بـ np.log ثم طبّق diff: فطرح اللوغاريتمات هو قسمة الأسعار.

r_t = ln(P_t / P_{t-1}) = ln(P_t) - ln(P_{t-1})

import numpy as np
import pandas as pd

prices = pd.Series([100.0, 102.0, 100.98, 103.0], index=["Mon", "Tue", "Wed", "Thu"])

log_ret = np.log(prices).diff()
print(log_ret.round(4))
# Mon       NaN
# Tue    0.0198
# Wed   -0.0101
# Thu    0.0198
# dtype: float64

print(prices.pct_change().round(4).tolist())   # [nan, 0.02, -0.01, 0.02]   the simple returns, for comparison

العوائد اللوغاريتمية تُجمع عبر الزمن

هذا هو السبب الرئيسي لاستخدامها. فبما أن ln(a) - ln(c) = (ln(a) - ln(b)) + (ln(b) - ln(c)) فإن العائد اللوغاريتمي على عدة فترات هو ببساطة مجموع عوائد الفترات دون تراكب. عائد اليومين مجموع عائدين يوميين، والعائد الشهري مجموع اليوميّ منها، ويعيد exp(total) - 1 النتيجة إلى عائد بسيط. والعوائد اللوغاريتمية متماثلة أيضًا: سعر يتضاعف ثم ينصّف عائداه اللوغاريتميان +0.6931 و-0.6931 فيتلاشيان، بينما كانت العوائد البسيطة +100% و-50%.

# The sum of the daily log returns is the log return over the whole period
print(round(log_ret.sum(), 6))                         # 0.029559
print(round(np.log(prices.iloc[-1] / prices.iloc[0]), 6))   # 0.029559   end price over start price

# exp(total) - 1 is the simple return of the whole period
print(round(np.exp(log_ret.sum()) - 1, 6))             # 0.03

# Symmetry: the price doubles, then halves
doubling = pd.Series([100.0, 200.0, 100.0])
print(doubling.pct_change().tolist())               # [nan, 1.0, -0.5]
print(np.log(doubling).diff().round(4).tolist())    # [nan, 0.6931, -0.6931]

التحويل والحركات على عدة أيام

للعودة إلى عائد بسيط استخدم np.exp(r) - 1 (أو np.expm1(r) الأدق مع القيم الصغيرة جدًا). يتفق الاثنان في الحركات الصغيرة ويتباعدان في الكبيرة: عائد بسيط +50% يساوي 0.4055 باللوغاريتم. وتعمل np.log وnp.exp على Series كاملة فلا حاجة إلى حلقة. ولقياس حركة على عدة أيام يقبل diff عدد الفترات: np.log(prices).diff(5) هو العائد اللوغاريتمي على خمسة أيام، ويساوي مجموع خمسة عوائد لوغاريتمية يومية.

# Small moves agree with the simple return, big moves do not
for simple in [0.01, 0.1, 0.5, -0.5]:
    print(simple, round(np.log1p(simple), 4))   # log1p(r) is ln(1 + r)
# 0.01 0.01
# 0.1 0.0953
# 0.5 0.4055
# -0.5 -0.6931

# Back to simple returns, on the whole Series at once
print((np.exp(log_ret) - 1).round(4).tolist())   # [nan, 0.02, -0.01, 0.02]

# The log return over 2 days: diff takes a number of periods
print(np.log(prices).diff(2).round(4).tolist())   # [nan, nan, 0.0098, 0.0098]

اجمعها عبر الزمن لا عبر الأصولتُجمع العوائد اللوغاريتمية عبر الفترات، لكن عائد المحفظة هو المجموع المرجّح لعوائد أصولها البسيطة. مركزان متساويان بعائدين لوغاريتميين +10% و-10% لا يعطيان محفظة بعائد 0%: فبالقيم البسيطة هما +10.5% و-9.5% فتربح المحفظة +0.5%. حوّل أولًا إلى عوائد بسيطة ثم رجّحها ثم أعد التحويل إن أردت اللوغاريتم.

العائد اللوغاريتمي هو ln(السعر / السعر السابق): np.log(prices).diff()؛ والعنصر الأول NaN.
عبر الزمن تُجمع ببساطة: log_ret.sum()، ويعطي np.exp(total) - 1 العائد البسيط.
يعطي diff(k) الحركة على k فترة؛ وعبر الأصول رجّح العوائد البسيطة لا اللوغاريتمية.

التالي: DatetimeIndex والفهرسة الزمنية، لإعطاء سلسلة الأسعار تواريخ حقيقية وتقطيعها حسب الشهر أو يوم الأسبوع.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

حوّل الأسعار إلى عوائد لوغاريتمية باستخدام log_returns25 نقطة
حوّل العوائد اللوغاريتمية إلى بسيطة باستخدام simple_from_log25 نقطة
اجمع العوائد اللوغاريتمية للفترات باستخدام total_log_return25 نقطة
قِس الحركة على عدة أيام باستخدام multi_day_log_return25 نقطة

import numpy as np import pandas as pd prices = pd.Series([100.0, 102.0, 100.98, 103.0], index=["Mon", "Tue", "Wed", "Thu"]) log_ret = np.log(prices).diff() print(log_ret.round(4)) # Mon NaN # Tue 0.0198 # Wed -0.0101 # Thu 0.0198 # dtype: float64 print(prices.pct_change().round(4).tolist()) # [nan, 0.02, -0.01, 0.02] the simple returns, for comparison

# The sum of the daily log returns is the log return over the whole period print(round(log_ret.sum(), 6)) # 0.029559 print(round(np.log(prices.iloc[-1] / prices.iloc[0]), 6)) # 0.029559 end price over start price # exp(total) - 1 is the simple return of the whole period print(round(np.exp(log_ret.sum()) - 1, 6)) # 0.03

# Symmetry: the price doubles, then halves doubling = pd.Series([100.0, 200.0, 100.0]) print(doubling.pct_change().tolist()) # [nan, 1.0, -0.5] print(np.log(doubling).diff().round(4).tolist()) # [nan, 0.6931, -0.6931]

# Small moves agree with the simple return, big moves do not for simple in [0.01, 0.1, 0.5, -0.5]: print(simple, round(np.log1p(simple), 4)) # log1p(r) is ln(1 + r) # 0.01 0.01 # 0.1 0.0953 # 0.5 0.4055 # -0.5 -0.6931 # Back to simple returns, on the whole Series at once print((np.exp(log_ret) - 1).round(4).tolist()) # [nan, 0.02, -0.01, 0.02] # The log return over 2 days: diff takes a number of periods print(np.log(prices).diff(2).round(4).tolist()) # [nan, nan, 0.0098, 0.0098]

العوائد اللوغاريتمية

لوغاريتم نسبة السعرين

العوائد اللوغاريتمية تُجمع عبر الزمن

التحويل والحركات على عدة أيام

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

العوائد اللوغاريتمية

لوغاريتم نسبة السعرين

العوائد اللوغاريتمية تُجمع عبر الزمن

التحويل والحركات على عدة أيام

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.