布朗运动

步长不断缩小的随机游走

设想一个价格每秒随机上涨或下跌一点。把时间间隔越缩越短，同时缩小每一步的幅度以保持总体离散程度合理，极限就是布朗运动 W(t)。它最初用来描述水中的花粉，1900 年巴舍利耶用它为价格建模。它由三条性质定义：W(0) = 0；不重叠区间上的增量相互独立；W(t) - W(s) 服从均值为 0、方差为 t - s 的正态分布。

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(1)
dt = 0.01
z = rng.standard_normal(5)                         # standard normal draws
increments = z * np.sqrt(dt)                       # each step over dt has standard deviation sqrt(dt)
print(np.round(increments, 4))

路径是累积和

要在时间网格 0, dt, 2 dt, ... 上模拟路径，每步抽一个标准正态 z，乘以 sqrt(dt)，再累加：W(k * dt) 是前 k 个增量之和，用 np.cumsum。路径从 0 开始，所以前面补一个 0。W(t) 的方差是 t，位置的离散程度按时间的平方根增长，与波动率和 VaR 换算用的是同一个平方根定律。

import numpy as np

def brownian_path(z, dt):
    return np.concatenate([[0.0], np.cumsum(z * np.sqrt(dt))])

rng = np.random.default_rng(1)
n, dt = 252, 1 / 252
ends = np.array([brownian_path(rng.standard_normal(n), dt)[-1] for _ in range(4000)])
print(round(float(ends.mean()), 3), round(float(ends.var()), 3))      # about 0 and 1: W(1) is a standard normal

无限粗糙的路径

布朗路径连续但处处不光滑，长度无限。它的粗糙程度有精确的度量，即二次变差，也就是步长平方之和。对光滑曲线，网格越细这个和越趋于 0；对布朗运动，无论网格多细它都保持为经过的时间 t，因为每一步的平方约为 dt，共有 t / dt 步。这个事实 (dW)^2 = dt 正是随机微积分不同于普通微积分之处，也是后面几节的关键。

import numpy as np

def quadratic_variation(path):
    return float(np.sum(np.diff(path) ** 2))

rng = np.random.default_rng(2)
t = 2.0
for steps in (10, 100, 10000):
    dt = t / steps
    path = np.concatenate([[0.0], np.cumsum(rng.standard_normal(steps) * np.sqrt(dt))])
    print(steps, round(quadratic_variation(path), 3))              # settles near 2.0 as the grid gets finer

smooth = np.linspace(0, 1, 10001) * 2
print(round(quadratic_variation(smooth), 5))                       # a straight line: close to 0

漂移与波动率

价格有趋势也有尺度。带漂移的算术布朗运动是 X(t) = mu * t + sigma * W(t)：mu 是漂移（单位时间的趋势），sigma 是波动率（随机部分的尺度）。它是价格变动最简单的模型，但可能变为负数，所以价格本身在下一节中用几何布朗运动建模。它仍是利率和价差建模的基本构件。

import numpy as np

def drifted_path(z, dt, mu, sigma):
    t = np.arange(len(z) + 1) * dt
    w = np.concatenate([[0.0], np.cumsum(z * np.sqrt(dt))])
    return mu * t + sigma * w

rng = np.random.default_rng(3)
n, dt = 252, 1 / 252
path = drifted_path(rng.standard_normal(n), dt, 0.08, 0.2)             # 8% a year drift, 20% volatility
print(round(float(path[-1]), 4), "after one year; the drift alone would give 0.08")
print(np.round(drifted_path(np.zeros(4), 0.25, 0.08, 0.2), 4))         # no noise: just the trend line

• 布朗运动从 0 出发，增量为方差 dt 的独立正态：用 z * sqrt(dt) 和累积和来模拟。
• W(t) 的方差为 t，路径的二次变差保持为经过的时间：(dW)^2 = dt。
• 用 X(t) = mu * t + sigma * W(t) 加上趋势和尺度；一条路径说明不了什么，统计需要很多路径。

下一节：几何布朗运动，价格不会变成负数的模型。

实验：评分内容

• 用 brownian_increments 缩放冲击25 分
• 用 brownian_path 构建路径25 分
• 用 quadratic_variation 度量粗糙程度25 分
• 用 drifted_path 加上趋势25 分