Ein Markt, einige Themen und ein langer Schwanz
Standardisiert man jede Spalte von Renditen (Mittelwert 0, Standardabweichung 1) und nennt das Ergebnis Z, mit n Tagen und p Anlagen, ist die Korrelationsmatrix C=ZᵀZ/n. Eine Hauptkomponente ist ein Eigenvektor vⱼ von C: die Richtung im Anlagenraum, in der die standardisierten Renditen am stärksten variieren, dann am stärksten unter den zur ersten senkrechten Richtungen usw. Ihr Eigenwert λⱼ ist die Varianz entlang dieser Richtung, die Eigenwerte summieren sich zu p (der Gesamtvarianz von p standardisierten Spalten), und λⱼ/p ist das Anteil der erklärten Varianz. Der Score Z vⱼ ist die Zeitreihe dieser Komponente. numpy.linalg.eigh liefert Eigenwerte aufsteigend, also absteigend sortieren; das Vorzeichen eines Eigenvektors ist willkürlich, also vor jedem Vergleich eine Konvention festlegen (z. B. größte Komponente positiv).
Behält man nur die ersten k Komponenten, werden die Daten als Ẑ=Z VₖVₖᵀ rekonstruiert. Der mittlere quadratische Fehler der Rekonstruktion ist die verworfene Varianz geteilt durch p: 1/pΣ_(j>k)λⱼ. Über die letzten 2.500 Handelstage von 61 Aktien und ETFs trägt die erste Komponente 37,4 % der Varianz und die nächsten vier 7,3 %, 6,2 %, 3,3 % und 2,8 %. Der erste Score hat eine Korrelation von 0,998 mit der gleichgewichteten Durchschnittsrendite: Er ist der Markt, gefunden, ohne es zu sagen. Die nächsten Komponenten sind Branchen- und Stilthemen. Der Schwanz ist dennoch schwer: 3 Komponenten ergeben die Hälfte der Varianz, aber für 80 % braucht man 22 und für 90 % 34, und der Rekonstruktionsfehler beträgt 0,626 mit einer Komponente, 0,430 mit fünf und 0,213 mit zwanzig. PCA komprimiert den gemeinsamen Teil des Marktes; es lässt 61 Anlagen nicht wie drei aussehen.
- Standardisieren, dann zerlegen: die Korrelationsmatrix in Eigenwerte; ihre Summe ist die Zahl der Anlagen.
- Vorzeichen sind willkürlich: eine Konvention festlegen und Vektoren über den absoluten Kosinus vergleichen.
- Die erste Komponente von Aktienrenditen ist der Markt; der Schwanz kleiner Komponenten zählt weiter.
Lab: Was bewertet wird
- Standardisieren10 Pkt.
- Die Eigenzerlegung20 Pkt.
- Erklärte Varianz10 Pkt.
- Kontrolle gegen scikit-learn15 Pkt.
- Wie viele Komponenten10 Pkt.
- Rekonstruktionsfehler15 Pkt.
- Die Studie20 Pkt.