向量与点积

向量是带有运算规则的一列数

向量是长度固定的一列有序数字，比如投资组合的权重 [0.5, 0.3, 0.2]，或三只资产某一天的收益率 [0.02, -0.01, 0.03]。在 Python 里，一个浮点数列表就够用。向量可以按位置相加、缩放和组合，这也是量化金融里大量内容用它们来表达的原因。只有长度相同的两个向量才能组合；长度不一致是个你希望被明确告知的 bug。

weights = [0.5, 0.3, 0.2]
returns = [0.02, -0.01, 0.03]

# Position by position: zip pairs the elements
products = [w * r for w, r in zip(weights, returns)]
print([round(p, 4) for p in products])   # [0.01, -0.003, 0.006]

# Scaling and adding vectors
print([2 * w for w in weights])          # [1.0, 0.6, 0.4]
print([a + b for a, b in zip(weights, returns)])  # [0.52, 0.29, 0.23]

点积

点积把两个向量按位置相乘再把结果相加：a1*b1 + a2*b2 + ... + an*bn，返回一个数。当 a 是权重、b 是收益率时，它就是投资组合收益：0.5*0.02 + 0.3*(-0.01) + 0.2*0.03 = 0.013。它也是一组持仓的价值（数量点乘价格），还是回归的基本构件。在 Python 中写作 sum(x * y for x, y in zip(a, b))，并且要先检查 len(a) == len(b)，因为 zip 会在较短的列表处悄悄停下。

def dot(a, b):
    if len(a) != len(b):
        raise ValueError("vectors must have the same length")
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

print(dot([1, 2, 3], [4, 5, 6]))                       # 32
print(round(dot([0.5, 0.3, 0.2], [0.02, -0.01, 0.03]), 6))  # 0.013  (portfolio return)

try:
    dot([1, 2], [1, 2, 3])
except ValueError as error:
    print(error)                                       # vectors must have the same length

长度、方向与相似度

向量与自身的点积是它长度的平方，所以范数（长度）是 math.sqrt(dot(a, a))：[3, 4] 的范数是 5.0。把向量除以它的范数，得到长度为 1、只保留方向的单位向量（零向量没有方向，应当用 ValueError 拒绝）。余弦相似度 dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)) 衡量两个向量的方向有多一致：从 -1（相反），经 0（无关，成直角），到 1（方向相同，无论尺度）。对去均值后的收益率序列使用它，就得到相关系数，这是投资组合风险中的核心量。

import math

def dot(a, b):
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

def norm(a):
    return math.sqrt(dot(a, a))

print(norm([3, 4]))                                    # 5.0

def normalize(a):
    length = norm(a)
    if length == 0:
        raise ValueError("a zero vector has no direction")
    return [x / length for x in a]

print(normalize([3, 4]))                               # [0.6, 0.8]

def cosine_similarity(a, b):
    return dot(a, b) / (norm(a) * norm(b))

print(round(cosine_similarity([1, 2], [2, 4]), 6))     # 1.0   (same direction)
print(cosine_similarity([1, 0], [0, 1]))               # 0.0   (perpendicular)
print(round(cosine_similarity([1, 2], [-1, -2]), 6))   # -1.0  (opposite)

import math

def dot(a, b):
    return sum(x * y for x, y in zip(a, b))

def mean(values):
    return sum(values) / len(values)

# Correlation is the cosine of the demeaned series
a = [0.01, 0.02, -0.01, 0.03]
b = [0.02, 0.04, -0.02, 0.06]       # always twice a
da = [x - mean(a) for x in a]
db = [x - mean(b) for x in b]
corr = dot(da, db) / math.sqrt(dot(da, da) * dot(db, db))
print(round(corr, 6))               # 1.0

# Value of a book: quantities dot prices
quantities = [100, -50, 20]
prices = [184.0, 410.0, 171.0]
print(dot(quantities, prices))      # 1320.0

• 点积：按位置相乘再求和；先检查长度。
• 范数 sqrt(dot(a, a))；单位向量 a / norm(a)（拒绝零向量）。
• 余弦相似度 dot(a, b) / (norm(a) * norm(b)) 取值 -1 到 1；浮点数用 isclose 比较。

下一节：矩阵与线性方程组，作用于向量并一次求解许多方程的数表。

实验：评分内容

• 用 dot 把权重与收益率结合25 分
• 用 norm 测量向量的长度25 分
• 用 cosine_similarity 比较方向25 分
• 用 normalize 把向量缩放到长度 125 分