スプレッドを稼ぎ、リスクを抱える
マーケットメイカーはビッドとアスクを出して待ちます。売り手がビッドを叩き、買い手がアスクを取ると、メイカーは安く買って高く売り、スプレッドを得ます。これが収入です。コストは在庫リスクです。2つの取引の間、メイカーは価格とともに価値が動くポジションを持ち、また、情報のない相手より情報を持つ相手に約定させられることが多くなります（逆選択）。良いマーケットメイクとは、頻繁に約定するほど狭く、リスクの対価を得られるほど広い気配を出し、在庫をゼロ近くに保つバランスです。
# The income: buy at the bid, sell at the ask, keep the spread
bid, ask, size = 99.95, 100.05, 100
cash = -bid * size + ask * size
print(round(cash, 2)) # 10.0 a round trip of 100 shares earned the 0.10 spread
# The risk: between the two trades the price moves against the inventory
inventory, mid_after = 100, 99.80
print(round(inventory * (mid_after - bid), 2)) # -15.0 the position lost more than the spread would have earnedAvellaneda-Stoikov：どこに気配を出すか
Avellaneda-Stoikov モデルは閉じた形の答えを与えます。まず留保価格 r = mid - q * gamma * sigma^2 * tau は、在庫 q を前提にメイカーが喜んで取引する水準です。ロングのメイカー（q > 0）は資産の価値を仲値より低く見て、買い手を引き寄せるために低く気配を出し、ショートなら高く出します。リスク回避度 gamma、ボラティリティ sigma、残り時間 tau が傾きの強さを決めます。次に最適スプレッド gamma * sigma^2 * tau + (2 / gamma) * ln(1 + gamma / k) は2つの部分からなります。期末までポジションを持つリスクへの対価と、注文フローの項です。k は、仲値から遠くに気配を出すほど約定が枯れる速さを表します。気配は r - spread/2 と r + spread/2 です。
# The reservation price leans against inventory: long -> quote lower, short -> quote higher
def reservation_price(mid, inventory, gamma, sigma, tau):
return mid - inventory * gamma * sigma ** 2 * tau
for inventory in (-50, 0, 50):
print(inventory, round(reservation_price(100.0, inventory, 0.1, 0.2, 1.0), 4))
# -50 100.2 short: quote higher to buy back
# 0 100.0 flat: centred on the mid
# 50 99.8 long: quote lower to sell# The optimal spread and the two quotes around the reservation price
import math
def optimal_spread(gamma, sigma, tau, k):
return gamma * sigma ** 2 * tau + (2 / gamma) * math.log(1 + gamma / k)
def make_quotes(mid, inventory, gamma, sigma, tau, k):
centre = mid - inventory * gamma * sigma ** 2 * tau
half = optimal_spread(gamma, sigma, tau, k) / 2
return centre - half, centre + half
print(round(optimal_spread(0.1, 0.2, 1.0, 1.5), 4)) # 1.2948
bid, ask = make_quotes(100.0, 0, 0.1, 0.2, 1.0, 1.5)
print(round(bid, 4), round(ask, 4)) # 99.3526 100.6474 symmetric around the mid when flat
bid, ask = make_quotes(100.0, 50, 0.1, 0.2, 1.0, 1.5)
print(round(bid, 4), round(ask, 4)) # 99.1526 100.4474 long 50: both quotes move down by 0.2在庫、約定、損益
状態は在庫と現金の2つの数で追跡します。ビッドが約定したら買ったことになり、在庫が増え、現金が price * quantity だけ減ります。アスクが約定したら売ったことになり、その逆です。ある時点の資産は現金に、仲値で評価した在庫を足したもの cash + inventory * mid で、その変化が損益です。損益は、獲得したスプレッドと、在庫を持っている間の価格変動から生じます。留保価格の周りに気配を出すと、在庫を減らす側が魅力的になるため、在庫がゼロに戻ります。実務では制限が重要です。在庫の厳格な上限、急変する市場での一時停止、そして気配のたびにビッドがアスクより低いことの確認です。
# Booking fills and marking the book to market
def apply_fill(state, side, price, quantity):
inventory, cash = state
if side == "bid":
return inventory + quantity, cash - price * quantity
return inventory - quantity, cash + price * quantity
state = (0, 0.0)
state = apply_fill(state, "bid", 99.95, 100) # our bid is hit: we buy 100
print(state) # (100, -9995.0)
state = apply_fill(state, "ask", 100.05, 100) # our ask is hit: we sell 100
print(state) # (0, 10.0) flat again, and the spread is the profit
inventory, cash = apply_fill(state, "bid", 99.9, 50)
print(round(cash + inventory * 99.9, 2)) # 10.0 marked at the price we just paid, the equity is unchanged- マーケットメイカーはスプレッドを稼ぐが、在庫リスクと逆選択を負う。取引できるほど狭く、対価を得られるほど広く、在庫はゼロ近くに
- 留保価格
mid - q * gamma * sigma^2 * tauは在庫に逆らって傾き、スプレッドgamma * sigma^2 * tau + (2/gamma) ln(1 + gamma/k)はリスク回避度で重み付けしたボラティリティと時間とともに広がる - 在庫と現金を追跡し、仲値で評価し、在庫に厳格な上限を設け、実運用の前に記録データを使ったシミュレータで戦略をテストする
次は Heston モデルです。それ自体が確率的に変動するボラティリティを扱います。
ラボ：採点される内容
reservation_priceで在庫に逆らって傾ける25点optimal_spreadでスプレッドの幅を決める25点make_quotesで両サイドに気配を出す25点apply_fillで約定を記帳する25点