Paridad put-call

Dos caminos al mismo sitio

Construye dos carteras. A: compra un call y deposita en el banco (o en un bono sin riesgo) el valor actual del strike K * exp(-rT). B: compra un put y compra la acción. Al vencimiento, si la acción acaba por encima de K, A es el S - K del call más el K del banco, o sea S; B es la acción S y un put sin valor, o sea S. Si la acción acaba por debajo de K, A es solo el K del banco porque el call vence sin valor, y B es el K - S del put más la acción S, o sea K. En ambos casos las dos carteras valen lo mismo al vencimiento, así que deben costar lo mismo hoy.

import math

spot, strike, rate, t = 100, 100, 0.05, 1
pv_strike = strike * math.exp(-rate * t)             # what must be put in the bank today to own K at expiry
print(round(pv_strike, 4))                            # 95.1229

call = 10.4506                                        # a call price we observe
put = call - spot + pv_strike                         # the parity relation
print(round(put, 4))                                  # 5.5735
print(round(put + spot - pv_strike, 4))               # 10.4506   and back to the call

Cuando se rompe la paridad: arbitraje

Si el mercado cotiza precios que no cumplen la relación, existe un beneficio sin riesgo. Define la diferencia (C - P) - (S - K e^(-rT)). Una diferencia positiva significa que el call es demasiado caro para el put: vende el call, compra el put, compra la acción y pide prestado el valor actual del strike. La cartera no cuesta nada al inicio, no paga nada al vencimiento haga lo que haga la acción, y se embolsa la diferencia hoy. Una diferencia negativa invierte cada pata. Los mercados reales tienen costes y horquillas compra-venta, así que las diferencias pequeñas no son operables: eso representa la tolerancia.

def parity_gap(call, put, spot, strike, rate, t):
    return (call - put) - (spot - strike * math.exp(-rate * t))

print(round(parity_gap(11.0, put, 100, 100, 0.05, 1), 4))         # 0.5494   the call at 11.00 is too expensive: sell it
print(round(parity_gap(call, put, 100, 100, 0.05, 1), 4))         # 0.0      consistent prices: nothing to do

def arbitrage_action(call, put, spot, strike, rate, t, tolerance=0.01):
    gap = parity_gap(call, put, spot, strike, rate, t)
    if gap > tolerance:
        return "sell call, buy put, buy stock"
    if gap < -tolerance:
        return "buy call, sell put, sell stock"
    return "none"

print(arbitrage_action(11.0, put, 100, 100, 0.05, 1))             # sell call, buy put, buy stock

# The package of the arbitrage, at today's prices: sell the call at 11, buy the put, buy the stock, borrow the strike's present value
cash_today = 11.0 - put - 100 + 100 * math.exp(-0.05 * 1)
print(round(cash_today, 4))                # 0.5494   you are paid the gap now and owe nothing at expiry

# A call minus a put is a synthetic forward: it behaves like the stock bought with borrowed money
print(round(10.4506 - put, 4), round(100 - pv_strike, 4))        # 4.8771 4.8771

• C + K * exp(-rT) = P + S: un call más el bono iguala un put más la acción, así que P = C - S + K * exp(-rT).
• Diferencia (C - P) - (S - K e^(-rT)) positiva: vende el call, compra el put y la acción; negativa: lo contrario.
• La paridad no depende de ningún modelo: úsala para comprobar cualquier modelo de valoración; con dividendos o ejercicio anticipado se vuelve una desigualdad.

A continuación: la fórmula de Black–Scholes, un precio en forma cerrada para el call y el put.

Lab: qué se califica

• Obtener el put a partir del call con parity_put_price25 pts
• Obtener el call a partir del put con parity_call_price25 pts
• Medir cuánto se alejan los precios de la paridad con parity_gap25 pts
• Nombrar la operación sin riesgo con arbitrage_action25 pts