مصفوفات التباين المشترك والارتباط

من أصل واحد إلى أصول كثيرة

كل ما سبق نظر في سلسلة عوائد واحدة. أما المحفظة فتضم أصولًا كثيرة، ولا يعتمد خطرها على خطر كل أصل فقط بل على كيفية حركتها *معًا*. والتغاير بين أصلين هو متوسط حاصل ضرب انحرافيهما عن المتوسط: موجب إن مالا إلى الصعود والهبوط معًا، وسالب إن صعد أحدهما بينما هبط الآخر. وبالنسبة إلى n أصلًا توجد n * n تغايرات تُرتَّب في مصفوفة تغاير، وهي متماثلة وعلى قطرها التباينات.

import numpy as np

# Five days of returns for two assets: shape (days, assets)
returns = np.array([[0.01, 0.02], [-0.02, -0.01], [0.03, 0.01], [0.00, -0.02], [0.01, 0.03]])

centered = returns - returns.mean(axis=0)            # subtract each column's mean
cov = centered.T @ centered / (len(returns) - 1)     # (assets x days) @ (days x assets) -> (assets x assets)
print(np.round(cov, 6))
print(np.allclose(cov, np.cov(returns, rowvar=False)))     # True

مصفوفة التغاير للعينة

مع جدول عوائد بالشكل (days, assets) تصبح المصفوفة كلها سطرًا واحدًا من الجبر الخطي. نطرح متوسط كل عمود (axis=0، المتوسط عبر الأيام)، ونضرب منقول الجدول المركّز في نفسه: العنصر (i, j) في centered.T @ centered هو مجموع x_i * x_j عبر الأيام. ثم نقسم على days - 1 كما في تباين العينة. وهذا ما يحسبه np.cov(returns, rowvar=False) وDataFrame.cov()؛ لاحظ rowvar=False لأن np.cov يتوقع الأصول في الصفوف.

الارتباط: التغاير بلا وحدات

تغاير قدره 0.0004 لا يقول الكثير: فهو يعتمد على مدى تقلب الأصلين. والقسمة على حاصل ضرب الانحرافين المعياريين تزيل المقياس وتعطي الارتباط الذي يقع دائمًا بين -1 و1: corr[i, j] = cov[i, j] / (std[i] * std[j]) حيث std الجذر التربيعي للقطر. وفي الكود يبني np.outer(std, std) جدول الحواصل وتعيد قسمة واحدة تحجيم المصفوفة كلها بآحاد على القطر. يخبرنا الارتباط بمدى تلازم حركة أصلين؛ أما التغاير الذي يحتفظ بالمقياس فهو ما تحتاجه صيغ المخاطر.

# From covariance to correlation and annualised volatilities
import numpy as np

returns = np.array([[0.01, 0.02], [-0.02, -0.01], [0.03, 0.01], [0.00, -0.02], [0.01, 0.03]])
cov = np.cov(returns, rowvar=False)

std = np.sqrt(np.diag(cov))
corr = cov / np.outer(std, std)
print(np.round(corr, 4))
print(np.round(np.sqrt(np.diag(cov) * 252), 4))      # daily variances scaled to a year: volatility grows with sqrt(252)

هل يمكن أن تكون هذه المصفوفة حقيقية؟

جدول أرقام عشوائي ليس مصفوفة تغاير. فيجب أن تكون متماثلة وشبه معرّفة موجبة: فمن أجل أي أوزان w فإن العدد w' C w هو تباين محفظة فلا يمكن أن يكون سالبًا. وبصورة مكافئة لا توجد قيمة ذاتية سالبة. المصفوفات المقدَّرة تجتاز الاختبار، أما المعدّلة يدويًا أو المركّبة من ارتباطات من مصادر مختلفة (مثل A~B = 0.9 وB~C = 0.9 وA~C = -0.9) فتفشل. ويُفحص ذلك بـ np.linalg.eigvalsh للمصفوفات المتماثلة وهي تعيد قيمًا ذاتية حقيقية، مع تسامح صغير للتقريب.

# A validity check: symmetry and no negative eigenvalue
import numpy as np

def is_valid_cov(matrix, tol=1e-10):
    symmetric = bool(np.all(np.abs(matrix - matrix.T) <= tol))
    return symmetric and bool(np.linalg.eigvalsh(matrix).min() >= -tol)

good = np.array([[1.0, 0.5, 0.2], [0.5, 1.0, 0.3], [0.2, 0.3, 1.0]])
bad = np.array([[1.0, 0.9, -0.9], [0.9, 1.0, 0.9], [-0.9, 0.9, 1.0]])
print(is_valid_cov(good), np.round(np.linalg.eigvalsh(good), 3))
print(is_valid_cov(bad), np.round(np.linalg.eigvalsh(bad), 3))

# Few days, many assets: the sample covariance matrix is singular
import numpy as np

rng = np.random.default_rng(0)
returns = rng.normal(0, 0.01, size=(5, 8))              # 5 days, 8 assets
cov = np.cov(returns, rowvar=False)
print(np.linalg.matrix_rank(cov), "of", cov.shape[0])  # 4 of 8: some portfolios seem to have zero variance

ملاحظات قليلة وأصول كثيرةمصفوفة لـ500 سهم فيها 125,250 عنصرًا مختلفًا تُقدَّر من نحو 250 يومًا. وعندما تقل الأيام عن الأصول تكون مصفوفة العينة شاذة: تبدو محفظة ما بتباين صفر، وهو ما لا ينبغي لأي مُحسِّن أن يصدقه. ويقوم الممارسون بتقليص المصفوفة نحو هدف بسيط أو يستخدمون نموذج عوامل. والتقدير متوسط للماضي أيضًا: فلفترات الهدوء والأزمات تغايرات مختلفة جدًا.

مصفوفة التغاير لجدول (days, assets) هي centered.T @ centered / (days - 1): متماثلة والتباينات على القطر.
الارتباط هو cov / np.outer(std, std): بلا وحدات، بين -1 و1، وآحاد على القطر؛ وتُسنَّى التباينات بـ periods والتقلبات بجذره.
مصفوفة التغاير الصالحة متماثلة بلا قيم ذاتية سالبة (np.linalg.eigvalsh)؛ وقد تخرق التقديرات من أيام قليلة أو المعدلة يدويًا ذلك.

التالي: عائد المحفظة وتباينها، تحويل الأوزان وهذه المصفوفة إلى خطر المحفظة.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

ابنِ جدول التغاير باستخدام cov_matrix25 نقطة
حوّلها إلى ارتباطات باستخدام corr_from_cov25 نقطة
اقرأ تقلب كل أصل باستخدام annualised_vols25 نقطة
اختبر إن كانت ممكنة فعلًا باستخدام is_valid_cov25 نقطة

import numpy as np # Five days of returns for two assets: shape (days, assets) returns = np.array([[0.01, 0.02], [-0.02, -0.01], [0.03, 0.01], [0.00, -0.02], [0.01, 0.03]]) centered = returns - returns.mean(axis=0) # subtract each column's mean cov = centered.T @ centered / (len(returns) - 1) # (assets x days) @ (days x assets) -> (assets x assets) print(np.round(cov, 6)) print(np.allclose(cov, np.cov(returns, rowvar=False))) # True

# From covariance to correlation and annualised volatilities import numpy as np returns = np.array([[0.01, 0.02], [-0.02, -0.01], [0.03, 0.01], [0.00, -0.02], [0.01, 0.03]]) cov = np.cov(returns, rowvar=False) std = np.sqrt(np.diag(cov)) corr = cov / np.outer(std, std) print(np.round(corr, 4)) print(np.round(np.sqrt(np.diag(cov) * 252), 4)) # daily variances scaled to a year: volatility grows with sqrt(252)

# A validity check: symmetry and no negative eigenvalue import numpy as np def is_valid_cov(matrix, tol=1e-10): symmetric = bool(np.all(np.abs(matrix - matrix.T) <= tol)) return symmetric and bool(np.linalg.eigvalsh(matrix).min() >= -tol) good = np.array([[1.0, 0.5, 0.2], [0.5, 1.0, 0.3], [0.2, 0.3, 1.0]]) bad = np.array([[1.0, 0.9, -0.9], [0.9, 1.0, 0.9], [-0.9, 0.9, 1.0]]) print(is_valid_cov(good), np.round(np.linalg.eigvalsh(good), 3)) print(is_valid_cov(bad), np.round(np.linalg.eigvalsh(bad), 3))

# Few days, many assets: the sample covariance matrix is singular import numpy as np rng = np.random.default_rng(0) returns = rng.normal(0, 0.01, size=(5, 8)) # 5 days, 8 assets cov = np.cov(returns, rowvar=False) print(np.linalg.matrix_rank(cov), "of", cov.shape[0]) # 4 of 8: some portfolios seem to have zero variance

مصفوفات التباين المشترك والارتباط

من أصل واحد إلى أصول كثيرة

مصفوفة التغاير للعينة

الارتباط: التغاير بلا وحدات

هل يمكن أن تكون هذه المصفوفة حقيقية؟

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

مصفوفات التباين المشترك والارتباط

من أصل واحد إلى أصول كثيرة

مصفوفة التغاير للعينة

الارتباط: التغاير بلا وحدات

هل يمكن أن تكون هذه المصفوفة حقيقية؟

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.