دوال الهدف والتدرجات والنهايات الصغرى

الموضع في المسارالوحدة 1 من 5 · الموضوع 1 من 1

1.1 دوال الهدف والتدرجات والنهايات الصغرى

—درجة المختبر— / 100إجمالي XP—التتابع—

ما الذي يبحث عنه المحسِّن

لمسألة التحسين عددٌ نريد تصغيره هو دالة الهدف $f(\mathbf w)$ ، ومتغيرات $\mathbf w$ نستطيع تغييرها. قد تكون دالة الهدف خسارة المربعات الصغرى، أو تباين المحفظة $\mathbf w^{T}\Sigma\mathbf w$ ، أو الفرق بين أسعار النموذج وأسعار السوق في المعايرة. وتكبير شيء ما هو المسألة نفسها بعكس الإشارة، لأن تعظيم $f$ يساوي تصغير $-f$ .

\nabla f(\mathbf w)=\Big(\frac{\partial f}{\partial w_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial w_n}\Big),\qquad H_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial w_i\,\partial w_j}

(1)

يشير التدرج إلى الاتجاه الذي تزداد فيه $f$ أسرع ما يمكن، فيكون $-\nabla f$ اتجاه أشدّ هبوط. وعند النهاية الصغرى يكون التدرج صفرًا، وهذا شرط الرتبة الأولى. غير أن التدرج الصفري وحده لا يكفي لأن النهايات العظمى ونقاط السرج تملكه أيضًا. ويفرّق بينها الهسيان $H$ : إن كان $H$ موجبًا معرَّفًا (كل قيمه الذاتية موجبة) فالنقطة نهاية صغرى محلية، وإن كان سالبًا معرَّفًا ففيها نهاية عظمى، وإن كانت له قيم ذاتية بالإشارتين فالنقطة سرج.

مثال بمتغيرينلتكن

f(x,y)=(x-1)^2+2(y+2)^2

. فيكون

\nabla f=(2(x-1),\,4(y+2))

. عند النقطة

(3,0)

التدرج هو

(4,8)

، فالتحرك عكسه يخفض

f

. ولا ينعدم التدرج إلا عند

(1,-2)

. وهناك

H=\mathrm{diag}(2,4)

بقيم ذاتية موجبة، فالنقطة

(1,-2)

هي النهاية الصغرى و

f=0

عندها.

نقطة ساكنة: $\nabla f=0$ . شرط لازم للنهاية الصغرى وغير كافٍ.
التصنيف: $H$ الموجبة التعريف نهاية صغرى محلية، وغير المعرَّفة سرج.
في متغير واحد: $f'(x)=0$ مع $f''(x)>0$ نهاية صغرى.

تحقق من تدرجك عدديًامعظم أخطاء التحسين سببها تدرج خاطئ. قارن صيغتك بالفرق المركزي

\big(f(x+h)-f(x-h)\big)/(2h)

مع

h

صغير مثل

10^{-5}

: يجب أن يتطابقا في عدة أرقام. افعل ذلك مرة لكل دالة هدف جديدة قبل أن تثق بمحلّ يستعملها.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

مشتقة جزئية15 نقطة
طول التدرج15 نقطة
النهاية الصغرى لتكعيبي15 نقطة
تصنيف نقطة ساكنة15 نقطة
طابق المصطلحات15 نقطة
إيجاد نهاية صغرى يدويًا10 نقطة
لماذا نتحرك عكس التدرج15 نقطة

0/ 7 تمت الإجابة

1إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

لتكن $f(x,y)=(x-1)^2+2(y+2)^2$ . ما قيمة $\partial f/\partial y$ عند النقطة $(3,0)$ ؟

dfdy =

المقبول: ± 0.01

2إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

لنفس $f$ عند $(3,0)$ يكون التدرج $(4,8)$ . ما طوله الإقليدي $\lVert\nabla f\rVert$ ؟ أعطه بخانتين عشريتين.

length =

المقبول: ± 0.02

3إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

للدالة $f(x)=x^3-3x$ نهاية صغرى محلية حيث $f'(x)=0$ و $f''(x)>0$ . ما قيمة $f$ عند هذه النهاية الصغرى المحلية؟

fmin =

المقبول: ± 0.01

4اختيار15 نقطةبلا إجابة

للدالة $f(x,y)=x^2-y^2$ تدرج $\nabla f=0$ عند الأصل و $H=\mathrm{diag}(2,-2)$ . ماذا يكون الأصل؟

5مطابقة15 نقطةبلا إجابة

طابق كل مصطلح بمعناه.

اختر مقابل كل عنصر في اليسار.

التدرج

الهسيان

نقطة ساكنة

دالة الهدف

6رتّب الخطوات10 نقطةبلا إجابة

رتّب الخطوات.

اسحب لإعادة الترتيب، أو ركّز على عنصر واضغط مسافة لرفعه والأسهم لتحريكه ومسافة لإفلاته.

1تحقق من أن الهسيان موجب التعريف
2اكتب دالة الهدف $f$
3حل $\nabla f=0$ لإيجاد النقاط الساكنة
4احسب التدرج $\nabla f$ والهسيان $H$

7اشرح بكلماتك15 نقطةبلا إجابة

في جملة أو جملتين اشرح لماذا يتحرك المحسِّن الذي يريد خفض $f$ في الاتجاه $-\nabla f$ .

يُقيَّم على:التدرج يشير إلى حيث ترتفع

f

أسرعالاتجاه المعاكس يخفض

f

أكثر0 / 400 حرف

وضع الرياضياتإدخال بلوحة المفاتيح أو LaTeXالمهمة 1 من 7 · Ctrl ⏎ للتحقق

دوال الهدف والتدرجات والنهايات الصغرى

الموضع في المسارالوحدة 1 من 5 · الموضوع 1 من 1

1.1 دوال الهدف والتدرجات والنهايات الصغرى

—درجة المختبر— / 100إجمالي XP—التتابع—

ما الذي يبحث عنه المحسِّن

\nabla f(\mathbf w)=\Big(\frac{\partial f}{\partial w_1},\dots,\frac{\partial f}{\partial w_n}\Big),\qquad H_{ij}=\frac{\partial^{2} f}{\partial w_i\,\partial w_j}

(1)

مثال بمتغيرينلتكن

f(x,y)=(x-1)^2+2(y+2)^2

. فيكون

\nabla f=(2(x-1),\,4(y+2))

. عند النقطة

(3,0)

التدرج هو

(4,8)

، فالتحرك عكسه يخفض

f

. ولا ينعدم التدرج إلا عند

(1,-2)

. وهناك

H=\mathrm{diag}(2,4)

بقيم ذاتية موجبة، فالنقطة

(1,-2)

هي النهاية الصغرى و

f=0

عندها.

نقطة ساكنة: $\nabla f=0$ . شرط لازم للنهاية الصغرى وغير كافٍ.
التصنيف: $H$ الموجبة التعريف نهاية صغرى محلية، وغير المعرَّفة سرج.
في متغير واحد: $f'(x)=0$ مع $f''(x)>0$ نهاية صغرى.

تحقق من تدرجك عدديًامعظم أخطاء التحسين سببها تدرج خاطئ. قارن صيغتك بالفرق المركزي

\big(f(x+h)-f(x-h)\big)/(2h)

مع

h

صغير مثل

10^{-5}

: يجب أن يتطابقا في عدة أرقام. افعل ذلك مرة لكل دالة هدف جديدة قبل أن تثق بمحلّ يستعملها.

المختبر: ما الذي يُقيَّم

مشتقة جزئية15 نقطة
طول التدرج15 نقطة
النهاية الصغرى لتكعيبي15 نقطة
تصنيف نقطة ساكنة15 نقطة
طابق المصطلحات15 نقطة
إيجاد نهاية صغرى يدويًا10 نقطة
لماذا نتحرك عكس التدرج15 نقطة

0/ 7 تمت الإجابة

1إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

لتكن $f(x,y)=(x-1)^2+2(y+2)^2$ . ما قيمة $\partial f/\partial y$ عند النقطة $(3,0)$ ؟

dfdy =

المقبول: ± 0.01

2إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

لنفس $f$ عند $(3,0)$ يكون التدرج $(4,8)$ . ما طوله الإقليدي $\lVert\nabla f\rVert$ ؟ أعطه بخانتين عشريتين.

length =

المقبول: ± 0.02

3إجابة رقمية15 نقطةبلا إجابة

للدالة $f(x)=x^3-3x$ نهاية صغرى محلية حيث $f'(x)=0$ و $f''(x)>0$ . ما قيمة $f$ عند هذه النهاية الصغرى المحلية؟

fmin =

المقبول: ± 0.01

4اختيار15 نقطةبلا إجابة

للدالة $f(x,y)=x^2-y^2$ تدرج $\nabla f=0$ عند الأصل و $H=\mathrm{diag}(2,-2)$ . ماذا يكون الأصل؟

5مطابقة15 نقطةبلا إجابة

طابق كل مصطلح بمعناه.

اختر مقابل كل عنصر في اليسار.

التدرج

الهسيان

نقطة ساكنة

دالة الهدف

6رتّب الخطوات10 نقطةبلا إجابة

رتّب الخطوات.

اسحب لإعادة الترتيب، أو ركّز على عنصر واضغط مسافة لرفعه والأسهم لتحريكه ومسافة لإفلاته.

1تحقق من أن الهسيان موجب التعريف
2اكتب دالة الهدف $f$
3حل $\nabla f=0$ لإيجاد النقاط الساكنة
4احسب التدرج $\nabla f$ والهسيان $H$

7اشرح بكلماتك15 نقطةبلا إجابة

في جملة أو جملتين اشرح لماذا يتحرك المحسِّن الذي يريد خفض $f$ في الاتجاه $-\nabla f$ .

يُقيَّم على:التدرج يشير إلى حيث ترتفع

f

أسرعالاتجاه المعاكس يخفض

f

أكثر0 / 400 حرف

وضع الرياضياتإدخال بلوحة المفاتيح أو LaTeXالمهمة 1 من 7 · Ctrl ⏎ للتحقق

دوال الهدف والتدرجات والنهايات الصغرى

ما الذي يبحث عنه المحسِّن

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.

دوال الهدف والتدرجات والنهايات الصغرى

ما الذي يبحث عنه المحسِّن

المختبر: ما الذي يُقيَّم

سجّل الدخول لتشغيل الكود الخاص بك.